Tercer Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

[Dex!]

polola de dex: el primerooo es 2 !!!!!! xD :roll:


seba (dex): hola david me entere que iban a colocar los resultados de la ultima prueba, o sea esta, yo tengo las soluciones pero quiero compararlas
eso po.. pa ver si pueden colocarlo.
chau
dex!

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ya lei las soluciones mas abajo grx xDDD

[fadeintome]

Aquí van las soluciones:

(1)Notemos que podemos separar las cifras de N convenientemente como se muestra a continuación.


Es fácil notar que de un paréntesis al siguiente la cantidad de cifras aumenta en 4.
La cantidad de cifras del primer paréntesis es 4, la del segundo paréntesis es 2*4=8, de esta manera la cantidad de cifras del k-ésimo paréntesis será , entonces siendo la cantidad de paréntesis de , la cantidad de cifras de estará determinada por:
.[conclusión 1]

Notemos que en el primer paréntesis tenemos “un” 2, “un” 5 y “dos” 0’s, en el segundo paréntesis tenemos “dos” 2’s, “dos” 5’s y “cuatro” 0’s, de esta manera en el k-ésimo paréntesis tendremos “k” 2’s, “k” 5’s y “2k” 0’s . [conclusión 2]

Observemos que si tuviese 31 paréntesis, entonces tendría cifras.
(respaldado por [conclusión 1]). Entonces debe tener mas de 31 paréntesis, pues nos faltan 21 cifras para poder tener 2005 cifras, estas 21 cifras que nos faltan serán aportadas por el paréntesis numero 32, en el cual sus primeras 32 cifras son 2’s (respaldado por [conclusión 2]), por la tanto la cifra número 2005 de es un DOS.
NOTA: Recurrí a los paréntesis para explicar mejor esta solución.

(2)Sea la cantidad de triángulos en la que se divide el cuadrado de lado , entonces la suma de las áreas del total de triángulos debe ser igual al área del cuadrado, con lo que obtenemos:
{*}, que es equivalente a , de donde observamos que 2 divide a , como 2 divide a , existe tal que {**}.
Reemplazando {**} en {*} obtenemos:
, que es equivalente a , de donde es lógico que 2 divide a , ya que 2 no divide a 3, por lo tanto es par.

[Rurouni Kenshin]

Muchas gracias Pablo...entonces el Tercer Nivel ya es META SUPERADA :si:
Saludos a todos y cualquier duda posteenla(Si alguien tiene otra solucion por favor posteela,para asi ver mas opciones de solucion)

[orly]

Que bonito el problema 2, por eso le postearé solución ...

Cachemos primero q los triángulos tienen area 6 (bueno, 6 centimetros cuadrados, pero filo con eso), tienen area 6, y el cuadrado area . Pues bueno, entonces 6 divide al número , es decir (para algún , donde este será el número de triángulos en el que se divide el cuadrado), pues bien claramente es par, pero esto implica que es par también (pues si no fuera par, entonces tampoco lo sería ), digamos que (con ). Entonces tendrémos que lo cual equivale a que . Y bien, con esto llegamos a que por lo cual deberá ser par.

[Anonymous]

yo lo hice de otra forma pero no se si esta bien :?
la posteo pa que me digan si sirve
aqui va:

Para que el cuadrado se pueda llenar con completamente con triangulos
de cateto 3 y 4, un lado debe ser divisible por 3 y el otro por 4
Como un cuadrado tiene todos sus lados iguales, entonces su lado debe ser divisible por 3 y 4 a la vez.
En conclusion su lado debe ser de la forma 12a.
Por otro lado el area del cuadrado debe ser igual al area del triangulo por
n, donde n es el numero de triangulos.
Como el area del triangulo es 6 (cm), entonces tenemos que:
12a * 12a=6n
144a^2=6n
26a^2=n
2*13a^2=n
Como cualquier numero multiplicado por 2 es par, entonces n es siempre par
Si tiene algun error me lo dicen por fa
chao

[Rurouni Kenshin]

Creo que hay un detalle que igual es importante...porque no podias poner en un lado del cuadrado un segmento de medida 4 y otro de medida 3?(ver figura)
<img src='http://img206.echo.cx/img206/2476/g95sr.png' border='0' alt='user posted image' />
Luego no estoy tan convencido que necesariamente el lado deba de ser multiplo de 12
Pero no se si tu argumento ira por otro lado o quien sabe..bueno..esa es mi respuesta...
Cuentame si realmente el argumento va por otro lado o definitivamente es ese...y bueno...de todas manera me apena pues se veia tan bonito el desarrollo(si te das cuenta no es muy diferente al que expusieron los demas) entonces iba "como avion", salvo por el detalle que yo te menciono.
Saludos

[Anonymous]

la verdad es que si iba por ese camino
pero igual de todas maneras se podria demostrar que es
de la forma 12a ( la verdad no lo se )
si nos fijamos para que calce totalmente, el numero de triangulos de un lado debe ser igual al del otro que es 3 y 4, o sea 3*4=12
Por lo tanto se cumple.
La verdad no se si estara bien por que la dije al ojo no mas
chao

[Rurouni Kenshin]

La verdad que de la identidad 6k=a^2 lo mas que podemos decir es que a debe ser multiplo de 6.
De hecho si a=6,entonces k=6 y en ese caso si se cumple que a^2=6k
Y no se porque crees que el numero de triangulos por un lado debe ser igual a los del otro lado..ni siquiera me parece intuitivo , y si fuera cierto...,como lo demuestras?pues si no hay demostracion jamas tendremos la certeza de que es cierto.
Si quieres profundizar el problema bienvenido seas...
Saludos

[º¡C1ru5Mate!º]

jaja igual taban entrete los problemas, solamente k no me di cuenta k era super poco time, onda como k dije, ia 1 hora y media igual es caleta, pero onda desarrollando los ejercicios se te van altiro, jaajajaj pero igual tan wenos! la dura pa mi es bkn y mas encima es primera vez k participo en un campeonato asi
jaja saluoz y suerte para la tercera fecha a toos