Segundo Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

[Francisco Muñoz]

La solución ha este problema es bastante directa: lo resolveremos de dos maneras que son homólogas, pero no está de más ver las dos formas:

Solución 1:

Tenemos la ecuación:

Restando a ambos lados de la igualdad
Sumando 1 a ambos lados
Factorizando cada parte
Finalmente
De la última ecuación podemos observar que (p-1) y (q-1) son divisores de 2 y es sabido que los divisores de 2 son {-2,-1,1 ,2}

Entonces tenemos cuatros casos posibles y cada uno nos entregara una solución.

a)

B)

c)

d)

Por lo tanto las soluciones son .

Observaciones:
1) Note que este método nos asegura que estas son todas las soluciones.
2) Era de esperar que las soluciones de este sistema fuesen simétricas, por que si el par (a, b) era solución entonces (b, a) también lo sería.

Solución 2:

Tomenos la ecuación:

Restando p a ambos lados
Factorizando por p
Dividiendo por distinto de 0,
Como queremos las soluciones enteras, se debe cumplir que p sea entero y para que eso ocurra es necesario que lo sea (porque sabemos que esa cantidad es igual a p)

Veamos para que valores de q, la expresión es entera

Para eso observemos que:
<=>
<=>
<=>
Démonos un tiempo para analizar esto: queríamos que la expresión fuese entero pero ya vimos que es igual a .
Ahora para que , sea entero nos basta que sea entero, ya que 1 es natural.
Por lo cual todo el problema se reduce encontrar “q” tal que sea entero, para que esto suceda necesitamos que sea divisor de 2, es decir, (q-1) puede ser -2,-1 ,1 ,2

Consideremos estos 4 casos:
a)
B)
c)
d)

Ahora solo falta determinar la pareja “p” para cada “q”, y esto se hace reemplazando los “q” obtenidos, en la expresión .

a) ,
B) ,
c) ,
d) ,

y aquí obtenemos las soluciones.

[Rurouni Kenshin]

Muy bien tu solucion..clarisimamente explicada ambas opciones...ahora falta ver la solucion al problema 2
Saludos :hola:

[Francisco Muñoz]

Bueno aquí les posteo la solución del segundo problema. Seré lo mas detallado para que todos puedan entender, aunque en este problema todos los pasos son claros.


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img28.echo.cx/img28/6323/paralelogramo2re.jpg');}" />


Comencemos primero analizando la figura. En el paralelepípedo, dividido en cubos, podemos clasificar a los cubitos exteriores en tres tipos:
Tipo 1(ver figura) Los del vertice, son aquellos cubitos que poseen tres caras pintadas y siempre habran 8 cualquiera sean los valores de a, b y c (esto pues los tres mayores o iguales a 2. Vean ustedes que pasaria si una medida valiera 1).
Tipo 2(ver figura) Los de la arista, son aquellos cubitos que poseen solo dos cara pintadas
Tipo 3(ver figura) Los de las caras, son aquellas que poseen solo una cara pintada

Pero en el problema solo nos interesan los del Tipo 2 y queremos saber cuantos son en total. Para esto examinemos cuantos cubitos de estos hay en una arista de lado n.

Claramente en una arista de lado n, habran dos tipos de cubos: los del vertice(V) y los de arista(a) pero los de los vertices son solo dos, y todos los demas seran cubitos de arista, entonces habran n-2 cubitos de arista. como lo indica el siguiente diagrama:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img272.echo.cx/img272/6126/arista2fr.jpg');}" />


Ahora todo esta bastante claro, sabemos que hay 4 "aristas" de lado a, 4 de lado b y 4 de lado c. es cosa de contar y convencerse que este paso es correcto.

Entonces para cada una de esas arista de lado a, hay a-2 cubitos de arista(aquellos con dos caras pintadas). y analogamente para b y c.
por lo tanto el total de cubitos del Tipo 2 son:



pero en nuestro problema estos cubitos son 20. entonces se nos ha formado una ecuación:


dividiendo por cuatro a ambos lados
sumando 6 a ambos lados
y concluimos que

Ahora ocupando la condicion , busquemos todas las ternas que cumplan estas restricciones:
1)
2)
3)
4)
5)

y esas serian todas las posibilidadeds para a,b,c. fin

Ojala hayan entendido ambas soluciones y cualquier comentario o duda posteenla, que estare dispuesto a ayudarlos.

[Rurouni Kenshin]

Simplemente NOTABLE tu explicacion...con lujo de detalles...
Te felicito...y en serio tambien quedaron muy lindos los dibujos y no hay nada mejor para entender este problema que un apoyo grafico.
Saludos y espero les haya ido bien en esta fecha a la mayoria...
Nivel 2 de la Interescolar es una META SUPERADA