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Prueba grupal (M4)., Cuarta fecha. Octava región.

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 01:24 AM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $\textbf{Problema 1}:$$ $TEX: \noindent Un cuadrado y una circunferencia dados tienen el mismo per\'imetro.<br />Determinar la raz\'on entre el \'area del cuadrado y la del c\'irculo.$ $TEX: $\textbf{Problema 2}:$$ $TEX: \noindent Determinar todas las ternas ordenadas $(a,b,c)$ de n\'umeros reales tales que: $$a^4+\cos^2(\pi b)+\sqrt{1-c^2}=0$$$ (Aquí los ángulos se miden en radianes.) $TEX: $\textbf{Problema 3}:$$ $TEX: \noindent Determine todos los n\'umeros mayores que 60 y menores que 70 que dividen a la cantidad $2^{48}-1$$ $TEX: $\textbf{Problema 4}:$$ $TEX: \noindent Resolver la ecuaci\'on: $$x=1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}$$$ $TEX: $\textbf{Problema 5}:$$ $TEX: \noindent Al escribir el número N en base 7 se obtiene un n\'umero de 3 d\'igitos.<br />Al escribirlo en base 9, los d\'gitos son los mismos, pero en orden inverso.C\'ual es el valor de N?$ Aclaración: Al rerferir a una base "n", significa que el sistema de enumeración en dicha base consta solo de los dígitos {0,..,n}, en donde estos se forman crecientemente. Ej. El sistema binario(en base 2), posee sólo los dígitos {0,1}. En donde; 1=0, 2=1, 3=10, 4=11, 5=100......... Saludos.! Mensaje modificado por alvaro el Aug 5 2007, 01:26 AM -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2007, 04:47 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P4: Para que la fraccion pequeña del lado derecho no se indetermine, $TEX: $x\not=0,-1$$ . $TEX: $$x=1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}$$$ $TEX: $$x=1+\dfrac{1}{\frac{x+1}{x}}$$$ $TEX: $$x=1+\dfrac{x}{x+1}$$$ $TEX: $$x=\dfrac{x+1+x}{x+1}$$$ $TEX: $$x=\dfrac{2x+1}{x+1}$$$ $TEX: $$x^{2}+x=2x+1$$$ $TEX: $$x^2-x-1=0$$$ $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l<br />% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R<br />% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa<br />% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdacq<br />% GHXcqSdaGcaaqaaiaaigdacqGHRaWkcaaI0aaaleqaaaGcbaGaaGOm<br />% aaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdacqGHXcqSdaGcaaqaaiaaiwdaaS<br />% qabaaakeaacaaIYaaaaaaa!3EFB!<br />\[<br />x = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4} }}{2} = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}<br />\]<br />$ Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 6 2007, 06:33 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2007, 04:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P3: $TEX: $2^{48}-1=(2^{24}-1)(2^{24}+1)=(2^{12}-1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)$$ = $TEX: $(2^{6}-1)(2^{6}+1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)$$ Notar que $TEX: $(2^6-1)$$ y $TEX: $(2^6+1)$$ son los unicos divisores entre 60 y 70 de $TEX: $2^{48}-1$$ , los cuales son 63 y 65, respectivamente. -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2007, 05:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1: Si los perímetros son iguales, entonces, siendo $TEX: $l$$ el lado del cuadrado y $TEX: $r$$ el radio del circulo, entonces: $TEX: $4l=2r\pi$$ Donde $TEX: $l=\dfrac{r\pi}{2}$$ La razon entre el area del circulo y la del cuadrado es: $TEX: $\dfrac{l^2}{r^2\pi}=\dfrac{(\frac{r\pi}{2})^2}{r^2\pi}=\dfrac{\frac{r^2\pi^2}{4}}{r^2\pi}=\dfrac{\pi}{4}$$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2007, 05:31 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(pelao_malo @ Aug 6 2007, 05:47 PM) P4: Para que la fraccion pequeña del lado derecho no se indetermine, $TEX: $x\not=0$$ . Tambien deberias hacer notar que en principio, $TEX: $x\neq -1$$ , pues se indefine la fracción principal del lado derecho

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2007, 06:33 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(jorgeston @ Aug 6 2007, 06:31 PM) Tambien deberias hacer notar que en principio, $TEX: $x\neq -1$$ , pues se indefine la fracción principal del lado derecho editado -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2007, 03:16 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Solucion Problema 5}\\<br />\\<br />Recordemos que escribir un numero en base $n$ es escribirlo de la forma <br />$$n^0\cdot a + n^1 \cdot b + n^2\cdot c +...$$ donde $a, b, c$ son cardinales menores que $n$.<br />Luego sea ABC nuestro numero N. Por enunciado tenemos que:<br />$$N=A\cdot 7^2 + B\cdot 7^1 + C\cdot 7^0$$<br />$$N=49A+7B+C$$<br />Y en base 9:<br />$$N=C\cdot 9^2+B\cdot 9^1+A\cdot 9^0$$<br />$$N=81C+9B+A$$<br />Igualando las dos expresiones:<br />$$49A+7B+C=81C+9B+A$$<br />$$48A=80C+2B$$<br />$$24A=40C+B$$<br />Donde como el miembro izquierdo es par, B tiene que ser par: $\{$0,2,4,6$\}$<br />Pero si $B=2$:<br />$$\Rightarrow 24A=40C+2\Rightarrow 12A=20C+1$$<br />Donde el primer miembro es par y el segundo impar.\\<br />Si $B=4$:<br />$$\Rightarrow 24A=40C+4\Rightarrow 6A=10C+1$$<br />Donde el primer miembro es par y el segundo impar.\\<br />Del mismo modo, si $B=6$<br />$$\Rightarrow 24A=40C+6\Rightarrow 12A=20C+3$$<br />Luego B solo puede ser $0$, en tal caso:<br />$$24A=40C$$<br />$$A=\dfrac{5C}{3}$$<br />Donde es claro que 3 divide a C, luego C es $\{$3,6$\}$, pero no puede ser 6, puesto que el maximo N de tres digitos en base 7 es 342, luego C no puede ser mayor que 4, porque de otro modo, N en base 9 seria mayor que 342. Se sigue que $A=5$ y $C=3$ y $N=252$$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2007, 03:34 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Solucion Problema 2}\\<br />\\<br />Notemos que:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />a^4&\ge 0,\ \text{Con igualdad ssi a=0}\\<br />cos^2(\pi b) &\ge 0,\ \text{Con igualdad ssi}\ \pi b=0\\<br />\sqrt{1-c^2} &\ge 0,\ \text{Con igualdad ssi}\ 1=c^2\\<br />Luego, <br />a^4+cos^2(\pi b)+\sqrt{1-c^2}&=0,\ \text{ssi se cumplen las tres condiciones anteriores}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}.<br />Se sigue que $a=0$, $b=\{ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\}$, $c=\{ 1, -1\}$. Y los trios ordenados:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />(a,b,c)=&(0,\frac{1}{2},1)\\<br />&(0,\frac{1}{2},-1)\\<br />&(0,\frac{3}{2},1)\\<br />&(0, \frac{3}{2},-1)\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2007, 08:42 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aquí estoy con algunos minutos disponible, y puedo entregar algunos detalles sobre las soluciones de GlagosSA (problemas 5 y 2). Pueden tomarlo como consideraciones pequeñas, de cara al CEMAT, al CMAT, a la Olimpiada Nacional de Matemáticas... Si no reviso más soluciones, sólo es por falta de tiempo Problema 5 Llegamos a la ecuación 24A = 40C+B, podemos concluir que B = 8 (3A - 5C) , entonces B es múltiplo de 8. Como A, B, C son dígitos en base 7, entonces (en principio) pertenecen a {0,1,2,3,4,5,6}. Concluimos de inmediato (con el párrafo anterior) que B=0. Eso es tiempo ahorrado, a la hora de la prueba En otra parte, tenemos 3A = 5C. Podemos concluir (incluso, por simple inspección, porque las opciones son pocas) que A=5, C=3. Pero está bien explicar los detalles, de la manera que mejor les parezca, a la hora de la prueba Problema 2 La función coseno es periódica, con periodo $TEX: $2\pi$$ . Por lo tanto, se anula en los puntos indicados por GlagosSA y muchos otros más. Por favor, tengan en cuenta esa periodicidad. Creo que no tengo más comentarios por ahora, solicito el apoyo de los encargados del sector (de existir) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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