Prueba Individual NM2, Cuarta Fecha, Octava Región Opciones

[pelao_malo]

Problema 1. ( Este problema es una versión simplificada de uno que apareció en la prueba clasificatoria de la Olimpiada Nacional de Matemática el año 1990 ).

Cambiando de orden los dígitos 1,2,3 y 4 se pueden formar varios números distintos de 4 cifras: 1234,1243,1324,...,4321. Encontrar el valor de la suma de todos los números de 4 dígitos que pueden formarse así.

Problema 2. Determinar si es que existe algún número primo de 3 dígitos p = ABC tal que sus dígitos A,B y C son números primos y también los números de 2 cifras AB,AC y BC son primos.

Problema 3. Describir un procedimiento que permita encontrar el centro exacto de la circunferencia sólo la escuadra recta (con un ángulo recto) y el lápiz. Ojo, que a la escuadra se le borraron todas las medidas.

POSTEEN SUS RESPUESTAS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[pelao_malo]

yo le puse que la primera era 66660, la segunda no tenia, y la tercera era por lineas tangentes, que formaban un cuadrado.
aki van mis soluciones:

P1.
El numero que resulte se llamara N.
Ordenamos los numeros uno bajo el otro tal que queden listos para sumarlos tal que:
los primeros 6 numeros terminen en 1, los siguientes 6 terminen en 2, los siguientes 6 terminen en 3, y los siguiente 6 terminen en 4.
Luego la suma de las unidades da , dejando un 0 en las unidades de N y 6 de reserva para las decenas.
en las decenas de los primeros 6 numeros, hay 2 dos, 2 tres y 2 cuatros, los cuales dan . Luego el segundo grupo hay 2 unos, 2 tres y 2 cuatros, osea .
El tercer grupo igual que los otros tiene en doble de los numeros excepto el que tiene en la unidad, en este caso el 3, y el 4º grupo dara .
La suma total de la columna de las decenas de N da , y con los 6 de reserva que les dio las unidades, entonces da un 6 en las decenas y 6 de reserva para las centenas.
Como las centenas intercambian de lugar los mismos numeros, la suma es la misma que en las decenas, 60, dando 6 en las centenas y 6 de reserva para los miles.
Este ultimo igual dara 60, entonces el numero final es

P2.
Los unicos digitos primos son 2,3,5 y 7.
B y C no pueden ser ni 2 ni 5, porque o sino serian divisibles en 2 y 5, respectivamente.
como , A tampoco puede ser ó 5 ó 2, quedandonos solo los digitos 3 y 7, sabemos que los digitos no se pueden repetir, y como hay 2 digitos, y el numero tiene 3 , comprobamos que no existe tal numero primo.
P3.
dibujo.
1. se ponen ambos lados de la escuadra tangencialmente al circulo, el vertice de la escuadra se ubicara en un punto X.
2.trazamos los rayos desde X y luego sacamos la escuadra de ahi.
3.Hacemos lo mismo pero con un lado de la escuadra en uno de los rayos, tal que hacemos lo mismo de trazar los rayos con la escuadra y la sacamos de ahi.
4.Lo hacemos nuevamente con un lado en el ultimo rayo dibujado, y trazamos nuevamente los rayos, que saldran de este ultimo vertice al que llamaremos Y.
5.De este aplicamos el mismo procedimiento y trazamos los rayos, tal que el punto del angulo recto se llame Z.
6.De z trazamos los rayos con los lados de la escuadra nuevamente y obtenemos un trazo que intersecta al otro rayo del vertice X, el cual lo intersectara en W.
7.WXYZ es cuadrado, porque sus lados son igual al diametro de la circunferencia.
8.Como las diagonales bisecan a los angulos rectos, el triangulo YPZ y el triangulo XPW son congruentes por criterio ALA.
9. Los 4 triangulos creados son congruentes entre si, asi que concluimos que las bisectrices se dimidan, entonces al trazar las alturas desde P hacia cada lado, estas seran iguales, e igual al radio del circulo, demostrando que P es el centro.

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[br1_001]

Aqui te aporto una solucion alternativa al problema 1 =)
Veamos cuantos numeros conseguimos permutando los numeros del 1 al 4.Esto se obtiene de .
Ahora arreglemos la suma de una forma mas practica;notemos que el primer numero es 1234 y el ultimo sera 4321,cuya suma es 5555.Es facil entonces,notar que si formamos las 12 parejas adecuadas,obtenemos siempre 5555.Al tener nuestras 12 parejas(24 numeros),la suma estara dada por .
saludoz

[locusamoris]

Aquí otra solución para el 3,
Se inscriben dos triangulos rectangulos en la cincunferencia, teniendo en cuenta que la hipotenusa no tiene que ser la misma. Sabemos que la hipotenusa de cada triangulo rectangulo es diametro. Entonces la intersección de ambas hipotenusas es el centro.

[Cesarator]

Para el P2 ¿Porqué se sabe que los dígitos no pueden repetirse?

[pelao_malo]

porque o sino algun par de cifras será divisible en 11 don cesar

[Cesarator]

ok, satisfecho

Damos por resuelta esta pruebita.