Prueba Individual - Nivel M4 - Cuarta Fecha

Prueba Individual - Nivel M4 - Cuarta Fecha, 04 Agosto 2007 - VIII región

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2007, 09:02 PM Publicado: #1
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textit{{\bf Problema 1.} Un arco de 60 grados de una circunferencia tiene la misma longitud que un arco de 45 grados de una segunda circnferencia. Si el radio de la primera circunferencia es 3, determinar el \'area de la segunda circunferencia}.\\<br /><br /><br />{\bf Problema 2.} \textit{Determinar el valor de la suma}\\<br />$$6+66+666+6666+\ldots +666\ldots 6,$$<br />\textit{donde el ultimo sumando tiene 666 d\'igitos 6.}\\<br /><br /><br />{\bf Problema 3.} \textit{Doce personas se encuentran por azar juntas en una sala. Determinar la probabilidad que el cumplea\~nos de todas las personas sea el mismo d\'ia, es decir, que hayan nacido el mismo d\'ia del mismo mes, no necesariamente el mismo a\~no.}\\<br />(No olvidar el 29 de Febrero)$ -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 12:01 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \fbox{Problema 1}\:$ $TEX: \noindent Sea $\otimes_{1}$ con radio 3.$ $TEX: \noindent Un arco de $60^\circ$ de $\otimes_{1}$ es igual a un sexto del per\'imetro de esta, o sea equivale a $\pi.$$ $TEX: \noindent En forma an\'aloga un arco de $45^\circ$ de $\otimes_{2}$$ (de radio x) $TEX: \noindent tiene una longitud de $x\cdot\dfrac{\pi}{4}$, que es un octavo de esta circunferencia.$ $TEX: \noindent Luego, por enunciado $\pi=x\cdot\dfrac{\pi}{4}$$ $TEX: $\therefore$$ $TEX: $x=4$$ $TEX: \noindent Finalmente, el \'area de $\otimes_{2}$ es $16\pi.$$ -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 03:19 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Solucion Problema 2}\\<br />\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />6&=\dfrac{6\cdot 10 -6}{9}\\<br />66&=\dfrac{6\cdot 10^2-6}{9}\\<br />666&=\dfrac{6\cdot 10^3-6}{9}\\<br />666\cdots 6&=\dfrac{6\cdot 10^{666}-6}{9}\\<br />S&=\dfrac{6\sum_1^{666}10^i - 666\cdot 6}{9}\\<br />S&=\dfrac{\dfrac{6\cdot 10^{667}-60}{9}-3996}{9}\\<br />&=\dfrac{6\cdot 10^{667}-36024}{81}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 03:52 PM Publicado: #4
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	otra sol para el Problema 2 $TEX: $$6+66+666+\ldots+66\ldots6$$<br />$$6(1+11+111+\ldots+11\ldots11)\qquad (1)$$<br />Luego:\\<br />\begin{eqnarray}<br />1&=&\dfrac{10-1}9\\<br />11&=&\dfrac{10^2-1}9\\<br />111&=&\dfrac{10^3-1}9\\<br />11\ldots11&=&\dfrac{10^n-1}9\\<br />\Longrightarrow 1+11+111+\ldots+11\ldots11&=&\displaystyle\frac19\sum_{k=1}^n (10^k-1)\\<br />&=&\dfrac19\cdot\left(\dfrac{10(10^n-1)}{9}-n\right)\end{eqnarray}<br />Basta con igualar $n=666$ y reemplazar en (1) para conseguir lo pedido.\\<br />\begin{eqnarray}<br />6(1+11+\ldots)&=&6\cdot\dfrac19\left(\dfrac{10(10^n-1)}{9}-666\right)\\<br />&=&\dfrac{20(10^{666}-1)-5994}{27}\\<br />&=&\dfrac{2\cdot10^{667}-6014}{27}<br />\end{eqnarray}$ -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

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