Conjuntos - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa de Enseñanza Básica > 2º Ciclo > 7º Básico > Contenidos 7º Básico

Reply to this topic

Start new topic

Conjuntos

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2007, 06:02 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Conjuntos Parte I $TEX: \underline {$El\ concepto\ de\ conjunto$}:$ Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados. Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por George Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología. Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él. A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. Como ejemplos de conjuntos podemos tomar el conjunto de los días de la semana: Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado y Domingo. También podemos considerar el conjunto de las vocales: A, E, I, O, U. El conjunto de tus familiares, de los países americanos, etc... De esta forma nos acercamos a la idea intuitiva del concepto de conjunto. De todas formas, no es malo darle una lectura a el siguiente Link. $TEX: \underline{$El\ concepto\ de\ elemento\ o\ miembro$}:$ Este concepto también es primitivo, elemento es todo objeto que forma un conjunto. Por ejemplo, si consideramos al conjunto de los colores, tendremos que son elementos de ese conjunto el rojo, azul, verde, amarillo, naranjo, etc... Notación: Los conjuntos serán escritos con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Ejemplo: $TEX: $A=\{a, b, c\}$$ , si nos fijamos representamos un conjunto ( $TEX: $A$$ , letra mayúscula) y sus elementos (que son $TEX: $a, b, c$$ , con letra minúscula). $TEX: \underline {$Pertenencia$}:$ Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma: $TEX: $\in$$ . Por ejemplo si $TEX: $Z$$ es el conjunto de los planetas del sistema solar, $TEX: $b$ = $Marte$$ , tendremos que $TEX: $b \in Z$$ (pues como sabemos, Marte es un planeta del sistema solar). $TEX: \underline {$Formas\ de\ determinar\ un\ conjunto$}:$ ¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto? Un conjunto puede escribirse de dos formas: 1- Por Extensión: Nombrando cada uno de sus elementos dentro de una llave: $TEX: $X=\{f, g, h, k \}$$ ; $TEX: $T=\{1, 2, 3, 4 \}$$ , aqui estamos dando a conocer a la vista todos los elementos de los conjuntos $TEX: $X$$ y $TEX: $T$$ . 2- Por Comprensión: Escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos: $TEX: $A=\{ x/ x \in \mathbb{N};\ 3<x<9 \}$$ , aqui estamos diciendo que el conjunto $TEX: $A$$ esta formado por todos los $TEX: $x$$ naturales tales que esten entre el $TEX: 3$ y el $TEX: 9$ , o sea, esos $TEX: $x$$ son 4, 5, 6, 7 y 8. Escribir los conjuntos por comprensión ayuda a dar una característica a los elementos del conjunto (la característica aquí es que están entre el 3 y el 9, además se nos dice que son naturales). $TEX: \underline{$Igualdad\ de\ conjuntos$}:$ Dos conjuntos serán iguales sí y sólo sí tienen los mismos elementos Ejemplo: Sean los conjuntos $TEX: $A=\{ a, b \}$$ y $TEX: ${B}=\{ b, a \}$$ . Tanto $TEX: $A$$ como $TEX: ${B}$$ tienen los mismos elementos, entonces $TEX: $A=B$$ . Observación: Cuando hay elementos repetidos en un mismo conjunto, se escriben una sola vez. Ejemplo: $TEX: $A=\{ a, a, b, b \}$$ se escribe $TEX: $A=\{ a, b \}$$ , pues si nos fijamos, está repetido el elemento $TEX: $a$$ y el elemento $TEX: $b$$ , lo cual es "innecesario". $TEX: \underline{$Cardinalidad\ de\ un\ conjunto$}:$ Cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que el conjunto tiene. Su símbolo es $TEX: $\#$$ . La cardinalidad de un conjunto puede ser finita ó infinita. Ejemplo: $TEX: $S=\{ a, b, c \}$, $\# S = 3$$ , pues $TEX: $S$$ tiene 3 elementos. Si tenemos $TEX: $U=\{1,7,8,32,15\}$$ entonces $TEX: $\# U=5$$ . $TEX: \underline{$Inclusion\ de\ conjuntos$}:$ Su símbolo es $TEX: $\subseteq$$ . Dados dos conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ cualesquiera, se dice que $TEX: $A$$ está incluido en $TEX: $B$$ o que $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $B$$ sí y sólo sí todo elemento de $TEX: $A$$ está también en $TEX: $B$$ : $TEX: $A \subseteq B$$ (OJO!, $TEX: $A\subseteq B$$ no es lo mismo que $TEX: $B\subseteq A$$ , de hecho, esto ocurre sí y sólo si $TEX: $A=B$$ , como se muestra un poco más abajo). Ejemplo: Sea $TEX: $M$$ el conjunto de los mamíferos, y $TEX: $A$$ el conjunto de los animales, entonces $TEX: $M \subseteq A$$ , ya que todo mamífero es animal. Otro ejemplo, podemos considerar a $TEX: $V$$ como el conjunto de las vocales, y a $TEX: $L$$ el conjunto de las letras. Luego $TEX: $V\subseteq L$$ , ya que las vocales tambien son letras. Si tenemos $TEX: $A=\{1,3,5\}$$ y $TEX: $B=\{0,1,2,3,4,5,8\}$$ entonces $TEX: $A\subseteq B$$ , ya que todos los elementos de $TEX: $A$$ están en $TEX: $B$$ . Propiedades: - Cada conjunto es subconjunto de si mismo: $TEX: $A \subseteq A; \forall\ A$$ (Propiedad Refleja de Inclusión). - Si $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $B$$ , y $TEX: $B$$ es subconjunto de $TEX: $C$$ , entonces $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $C$$ : $TEX: Si $A\subseteq B$ y tambien $B\subseteq C$, entonces ocurre que $A\subseteq C$$ ( Propiedad Transitiva de Inclusión). - Si $TEX: $A \subseteq B$$ y $TEX: $B \subseteq A$$ , entonces $TEX: $A = B$$ (Propiedad Antisimétrica de la Inclusión). $TEX: \underline{$Tipos\ de\ conjuntos$}:$ 1- Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento. Ejemplo: $TEX: $A = \{ x/x\ es\ un\ dia\ de\ la\ semana\}$$ . En este ejemplo, sabemos que el conjunto tiene un último elemento, Domingo. 2- Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento. Ejemplo: El conjunto de los números naturales, $TEX: $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\infty\}$$ . 3- Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Es el conjunto del cual extraemos todos nuestros conjuntos. Se designa por $TEX: $U$$ (una letra U mayúscula). Ejemplo: $TEX: $U=\{ x/x\ es\ una\ letra \}$$ . Este es nuestro conjunto universo. $TEX: $A=\{ x/x\ es\ una\ vocal \}$$ . $TEX: $B=\{ x/x\ es\ una\ consonante \}$$ . Aqui tanto $TEX: $A$$ como $TEX: $B$$ fueron extraídos de $TEX: $U$$ . 4- Conjunto Vacío: Cuando un conjunto no tiene elementos decimos que es un conjunto vacío o conjunto nulo. Se representa por la letra griega $TEX: $\phi$$ o de la forma $TEX: $\{\}$$ . Ejemplo: $TEX: $A=\{ x/x \in \mathbb{N};\ 3<x<4\} = \phi$$ , ya que no hay naturales entre el 3 y el 4. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: $TEX: $\phi\subseteq A ;\forall A$$ 5- Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos serán disjuntos cuando no tengan elementos en común. Ejemplo: Dados los conjuntos $TEX: $A=\{ 3, 4, 6 \}$$ y $TEX: $B=\{ 7, 8, 9 \}$$ . Ambos conjuntos son disjuntos, pues ningun elemento de $TEX: $A$$ está en $TEX: $B$$ , es decir, no tienen elementos en común. Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 20 2008, 08:12 PM

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2007, 03:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Conjuntos Parte II $TEX: \underline{$Complemento\ de\ un\ conjunto$}:$ Si $TEX: $A$$ es subconjunto del conjunto universo o universal ( $TEX: $U$$ ), entonces el conjunto de todos los elementos de $TEX: $U$$ que no están en $TEX: $A$$ se llama "complemento de $TEX: $A$$ ". El complemento de $TEX: $A$$ se denota por $TEX: $A^c$$ o por $TEX: $A'$$ . $TEX: $\boxed{A^c =\{ x/x \in U \wedge x \notin A\}}$$ Ejemplo: Sea el conjunto universal $TEX: $U=\{ a, b, c, d, f, e \}$$ y el conjunto $TEX: $A=\{ b, c, f \}$$ . Tenemos que $TEX: $A^c =\{ a, d, e \}$$ (son los elementos que no son de $TEX: $A$$ que están en $TEX: $U$$ ). Propiedades: - $TEX: $(A^c)^c=A$$ , en general, si tenemos $TEX: $A$$ y lo "elevamos" a $TEX: $c$$ un número par de veces, nos dará como resultado $TEX: $A$$ . Si lo "elevamos" un número impar de veces, obtenemos $TEX: $A^c$$ . - $TEX: $\phi^c=U$$ , donde $TEX: $U$$ es el conjunto universal. - $TEX: $U^c =\phi$$ , donde $TEX: $U$$ es el conjunto universal. $TEX: \underline{$Conjunto\ Potencia$}:$ Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Al conjunto potencia de un conjunto $TEX: $A$$ , se le denota por $TEX: $P(A)$$ . Ejemplo: Sea $TEX: $A=\{ 1, 2 \}$$ el conjunto potencia es $TEX: $P(A)=\{\phi, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$ La idea del conjunto potencia es hacer cada "combinación" con los elementos de un conjunto dado, incluyéndole el $TEX: $\phi$$ . Nota: Al conjunto formado por un sólo elemento, se le denomina síngleton. Ejemplo: $TEX: $\{a\}$$ ; $TEX: $\{3\}$$ , estos se leen síngleton $TEX: $a$$ y síngleton $TEX: $3$$ , respectivamente. Propiedad: Si $TEX: $\#A=n$$ , entonces $TEX: $\#P(A)=2^n$$ . Ejemplo: Sea $TEX: $D=\{a,b,c\}$$ . Como tenemos $TEX: $\# D=3$$ entonces $TEX: $\#P(D)=2^3=8$$ . Comprobemos para ver si es cierto. Tenemos $TEX: $P(D)=\{\phi, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$$ , y efectivamente $TEX: $\#P(D)=8$$ . $TEX: \underline{$Operaciones\ con\ conjuntos$}:$ 1- Unión de Conjuntos La unión de los conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a $TEX: $A$$ ó a $TEX: $B$$ o a ambos. Se denota por $TEX: $A\cup B$$ . $TEX: $\boxed{A\cup B=\{ x/x \in A\vee x \in B\}}$$ Ejemplo: Sea $TEX: $A=\{ 1, 2, 5 \};\ B=\{ 2, 3, 4 \}$$ entonces $TEX: $A\cup B=\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$$ . La idea aquí fue tan solo agregarle al conjunto $TEX: $A$$ los elementos de $TEX: $B$$ o viceversa. Propiedades de la unión de conjuntos: - $TEX: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B)\cup C$$ (Asociatividad). - $TEX: $A \cup B =B \cup A$$ (Conmutatividad). - $TEX: $\forall A: A \cup A = A$$ (Idempotencia o igual potencia). - $TEX: $\forall A: A \cup \phi = A$$ . - $TEX: $\forall A: A \cup U = U$$ , siendo $TEX: $U$$ el conjunto universal. - $TEX: $A \subseteq (A \cup B)\wedge B \subseteq (A \cup B)$$ . 1- Intersección de Conjuntos: La intersección de los conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , es el conjunto de los elementos que son comunes a $TEX: $A$$ y a $TEX: $B$$ . Se denota por $TEX: $A\cap B$$ . $TEX: $\boxed{A\cap B=\{ x/x \in A \wedge x \in B\}}$$ Ejemplo: Sea $TEX: $A=\{ p, q, r, s \}; B=\{ p, q, x \}$$ entonces $TEX: $A \cap B=\{ p, q \}$$ . La idea fue ver que elementos se repetían en $TEX: $A$$ y en $TEX: $B$$ . Propiedades de la intersección de conjuntos: - $TEX: $A\cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$$ (Asociatividad). - $TEX: $A \cap B = B \cap A$$ (Conmutatividad). - $TEX: $\forall A: A \cap A=A$$ (Idempotencia o igual potencia). - $TEX: $\forall A: A \cap \phi =\phi$$ . - $TEX: $\forall A: A \cap U=A$$ , siendo $TEX: $U$$ el conjunto universal. - $TEX: $(A \cap B) \subseteq A \wedge (A \cap B) \subseteq B$$ . Otras propiedades: - $TEX: $A \cup A^c = U$$ , donde $TEX: $U$$ es el conjunto universal. - $TEX: $A \cap A^c = \phi$$ . Leyes de Morgan: - $TEX: $(A \cup B)^c =A^c \cap B^c$$ - $TEX: $(A \cap B)^c =A^c \cup B^c$$ 1- Propiedad de la unión respecto a la intersección: $TEX: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$ 2- Propiedad de la intersección respecto a la unión: $TEX: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$ $TEX: \underline{$Diferencia\ de\ conjuntos$}:$ La diferencia de los conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ es el conjunto de los elementos que pertenezcan a $TEX: $A$$ , pero que no pertenecen a $TEX: $B$$ . Se denota por $TEX: $A\setminus B$$ o tambien por $TEX: $A-B$$ . OJO!, no es lo mismo $TEX: $A\setminus B$$ que $TEX: $B\setminus A$$ . $TEX: $\boxed{A\setminus B=\{ x/x \in A \wedge x \notin B \}}$$ Ejemplo: Sea $TEX: $A=\{ 1, 2, 3, 4 \}; B=\{ 3, 4, 5, 6 \}$$ , entonces $TEX: $A\setminus B=\{ 1, 2 \}$$ . Propiedades: - $TEX: $A\setminus B=A\cap B^c$$ . - Si $TEX: $A\cap B=\phi$$ entonces $TEX: $A\setminus B=A$$ . - $TEX: $(A\setminus B) \subseteq A \wedge (B\setminus A) \subseteq B$$ . $TEX: \underline{$Diferencia\ Simetrica$}:$ $TEX: $\boxed{A \Delta B=(A\setminus B) \cup (B\setminus A)}$$ $TEX: $A\Delta B$$ se lee $TEX: $A$$ delta $TEX: $B$$ . Ejemplo: Sea $TEX: $A=\{1, 2, 3, 4, 5 \}; B=\{ 4, 5, 6, 7 \}; U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$$ $TEX: $A\setminus B=\{ 1, 2, 3 \}; B\setminus A= \{ 6, 7 \}$$ . Entonces $TEX: $A \Delta B=\{1, 2, 3, 6, 7 \}$$ . Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Feb 28 2008, 09:04 AM

Felipe-IN Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2008, 10:41 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 15 Registrado: 17-February 08 Desde: Maipú Miembro Nº: 15.599 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Acabo de entrar al IN ! y supe que esta materia entra en 7mo y me gustaria poder ejercitar un poco te pediria si me pudieras colocar algunos ejercicios de esta materia porfavor. Gracias. --------------------

beltran Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2008, 07:16 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 301 Registrado: 12-April 07 Miembro Nº: 5.135 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ohh materia de 7moo? increiblee y eso que es casi lo mismo junto con logicaaa see agradecee -------------------- Ex alumno Instituto Alonso de Ercilla IAE sentimiento [ se hacen clases particulares cualquier duda enviar mp]

perseverante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2008, 02:09 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 16-May 08 Miembro Nº: 23.369 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Felipe, Sugiero revisar el acápite de INCLUSION DE CONJUNTOS. En el apartado de ejemplo, el último ejemplo numérico me parece que está erroneo, pues, el elemento { 3 } pertenece al conjunto A, pero no esta en el conjunto B, lo que estaría en contradicción con la definicion. Saludos.

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2008, 08:19 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(beltran @ Mar 30 2008, 10:10 PM) ohh materia de 7moo? increiblee y eso que es casi lo mismo junto con logicaaa see agradecee Al menos si en el IN, pero no hay porque sorprenderse, si tan solo son algunas definiciones para que se entienda el concepto de conjunto. CITA(perseverante @ May 20 2008, 05:03 PM) Felipe, Sugiero revisar el acápite de INCLUSION DE CONJUNTOS. En el apartado de ejemplo, el último ejemplo numérico me parece que está erroneo, pues, el elemento { 3 } pertenece al conjunto A, pero no esta en el conjunto B, lo que estaría en contradicción con la definicion. Saludos. Editado , muchas gracias por avisar el error para asi no presentar confusiones . Saludos

martinpastenes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2011, 08:06 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 24-March 11 Miembro Nº: 85.516 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Jul 25 2007, 08:02 PM) Conjuntos Parte I $TEX: \underline {$El\ concepto\ de\ conjunto$}:$ Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados. Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por George Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología. Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él. A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. Como ejemplos de conjuntos podemos tomar el conjunto de los días de la semana: Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado y Domingo. También podemos considerar el conjunto de las vocales: A, E, I, O, U. El conjunto de tus familiares, de los países americanos, etc... De esta forma nos acercamos a la idea intuitiva del concepto de conjunto. De todas formas, no es malo darle una lectura a el siguiente Link. $TEX: \underline{$El\ concepto\ de\ elemento\ o\ miembro$}:$ Este concepto también es primitivo, elemento es todo objeto que forma un conjunto. Por ejemplo, si consideramos al conjunto de los colores, tendremos que son elementos de ese conjunto el rojo, azul, verde, amarillo, naranjo, etc... Notación: Los conjuntos serán escritos con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Ejemplo: $TEX: $A=\{a, b, c\}$$ , si nos fijamos representamos un conjunto ( $TEX: $A$$ , letra mayúscula) y sus elementos (que son $TEX: $a, b, c$$ , con letra minúscula). $TEX: \underline {$Pertenencia$}:$ Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma: $TEX: $\in$$ . Por ejemplo si $TEX: $Z$$ es el conjunto de los planetas del sistema solar, $TEX: $b$ = $Marte$$ , tendremos que $TEX: $b \in Z$$ (pues como sabemos, Marte es un planeta del sistema solar). $TEX: \underline {$Formas\ de\ determinar\ un\ conjunto$}:$ ¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto? Un conjunto puede escribirse de dos formas: 1- Por Extensión: Nombrando cada uno de sus elementos dentro de una llave: $TEX: $X=\{f, g, h, k \}$$ ; $TEX: $T=\{1, 2, 3, 4 \}$$ , aqui estamos dando a conocer a la vista todos los elementos de los conjuntos $TEX: $X$$ y $TEX: $T$$ . 2- Por Comprensión: Escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos: $TEX: $A=\{ x/ x \in \mathbb{N};\ 3<x<9 \}$$ , aqui estamos diciendo que el conjunto $TEX: $A$$ esta formado por todos los $TEX: $x$$ naturales tales que esten entre el $TEX: 3$ y el $TEX: 9$ , o sea, esos $TEX: $x$$ son 4, 5, 6, 7 y 8. Escribir los conjuntos por comprensión ayuda a dar una característica a los elementos del conjunto (la característica aquí es que están entre el 3 y el 9, además se nos dice que son naturales). $TEX: \underline{$Igualdad\ de\ conjuntos$}:$ Dos conjuntos serán iguales sí y sólo sí tienen los mismos elementos Ejemplo: Sean los conjuntos $TEX: $A=\{ a, b \}$$ y $TEX: ${B}=\{ b, a \}$$ . Tanto $TEX: $A$$ como $TEX: ${B}$$ tienen los mismos elementos, entonces $TEX: $A=B$$ . Observación: Cuando hay elementos repetidos en un mismo conjunto, se escriben una sola vez. Ejemplo: $TEX: $A=\{ a, a, b, b \}$$ se escribe $TEX: $A=\{ a, b \}$$ , pues si nos fijamos, está repetido el elemento $TEX: $a$$ y el elemento $TEX: $b$$ , lo cual es "innecesario". $TEX: \underline{$Cardinalidad\ de\ un\ conjunto$}:$ Cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que el conjunto tiene. Su símbolo es $TEX: $\#$$ . La cardinalidad de un conjunto puede ser finita ó infinita. Ejemplo: $TEX: $S=\{ a, b, c \}$, $\# S = 3$$ , pues $TEX: $S$$ tiene 3 elementos. Si tenemos $TEX: $U=\{1,7,8,32,15\}$$ entonces $TEX: $\# U=5$$ . $TEX: \underline{$Inclusion\ de\ conjuntos$}:$ Su símbolo es $TEX: $\subseteq$$ . Dados dos conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ cualesquiera, se dice que $TEX: $A$$ está incluido en $TEX: $B$$ o que $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $B$$ sí y sólo sí todo elemento de $TEX: $A$$ está también en $TEX: $B$$ : $TEX: $A \subseteq B$$ (OJO!, $TEX: $A\subseteq B$$ no es lo mismo que $TEX: $B\subseteq A$$ , de hecho, esto ocurre sí y sólo si $TEX: $A=B$$ , como se muestra un poco más abajo). Ejemplo: Sea $TEX: $M$$ el conjunto de los mamíferos, y $TEX: $A$$ el conjunto de los animales, entonces $TEX: $M \subseteq A$$ , ya que todo mamífero es animal. Otro ejemplo, podemos considerar a $TEX: $V$$ como el conjunto de las vocales, y a $TEX: $L$$ el conjunto de las letras. Luego $TEX: $V\subseteq L$$ , ya que las vocales tambien son letras. Si tenemos $TEX: $A=\{1,3,5\}$$ y $TEX: $B=\{0,1,2,3,4,5,8\}$$ entonces $TEX: $A\subseteq B$$ , ya que todos los elementos de $TEX: $A$$ están en $TEX: $B$$ . Propiedades: - Cada conjunto es subconjunto de si mismo: $TEX: $A \subseteq A; \forall\ A$$ (Propiedad Refleja de Inclusión). - Si $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $B$$ , y $TEX: $B$$ es subconjunto de $TEX: $C$$ , entonces $TEX: $A$$ es subconjunto de $TEX: $C$$ : $TEX: Si $A\subseteq B$ y tambien $B\subseteq C$, entonces ocurre que $A\subseteq C$$ ( Propiedad Transitiva de Inclusión). - Si $TEX: $A \subseteq B$$ y $TEX: $B \subseteq A$$ , entonces $TEX: $A = B$$ (Propiedad Antisimétrica de la Inclusión). $TEX: \underline{$Tipos\ de\ conjuntos$}:$ 1- Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento. Ejemplo: $TEX: $A = \{ x/x\ es\ un\ dia\ de\ la\ semana\}$$ . En este ejemplo, sabemos que el conjunto tiene un último elemento, Domingo. 2- Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento. Ejemplo: El conjunto de los números naturales, $TEX: $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\infty\}$$ . 3- Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Es el conjunto del cual extraemos todos nuestros conjuntos. Se designa por $TEX: $U$$ (una letra U mayúscula). Ejemplo: $TEX: $U=\{ x/x\ es\ una\ letra \}$$ . Este es nuestro conjunto universo. $TEX: $A=\{ x/x\ es\ una\ vocal \}$$ . $TEX: $B=\{ x/x\ es\ una\ consonante \}$$ . Aqui tanto $TEX: $A$$ como $TEX: $B$$ fueron extraídos de $TEX: $U$$ . 4- Conjunto Vacío: Cuando un conjunto no tiene elementos decimos que es un conjunto vacío o conjunto nulo. Se representa por la letra griega $TEX: $\phi$$ o de la forma $TEX: $\{\}$$ . Ejemplo: $TEX: $A=\{ x/x \in \mathbb{N};\ 3<x<4\} = \phi$$ , ya que no hay naturales entre el 3 y el 4. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: $TEX: $\phi\subseteq A ;\forall A$$ 5- Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos serán disjuntos cuando no tengan elementos en común. Ejemplo: Dados los conjuntos $TEX: $A=\{ 3, 4, 6 \}$$ y $TEX: $B=\{ 7, 8, 9 \}$$ . Ambos conjuntos son disjuntos, pues ningun elemento de $TEX: $A$$ está en $TEX: $B$$ , es decir, no tienen elementos en común. gracias

martinpastenes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2011, 08:09 AM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 24-March 11 Miembro Nº: 85.516 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Vale recien estoy empezando en el instituto y ya tengo mi primera prueba, me salvaste la vida. Saludos

« Posterior · Contenidos 7º Básico · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 2nd April 2025 - 02:37 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.