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Binomio de Newton

fodmerlet Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 24 2007, 11:19 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 16-July 07 Miembro Nº: 7.600 Nacionalidad: Sexo:	Hola Tengo una duda con respecto a la formula del binomio de Newton que utiliza la expresión "n sobre k". Sé utilizar la formula y dearrollar problemas, pero no entiendo el por que con ""n sobre k" se puede obtener el número que acompaña a la parte literal, se que los números que entrega el "n sobre k" son los mismos del triángulo de pascal, pero me gustaría saber como se llego a ello

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2007, 04:00 AM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(fodmerlet @ Jul 24 2007, 11:19 PM) Hola Tengo una duda con respecto a la formula del binomio de Newton que utiliza la expresión "n sobre k". Sé utilizar la formula y dearrollar problemas, pero no entiendo el por que con ""n sobre k" se puede obtener el número que acompaña a la parte literal, se que los números que entrega el "n sobre k" son los mismos del triángulo de pascal, pero me gustaría saber como se llego a ello Veamos, vamos por pasos 1) El valor numerico de $TEX: $\displaystyle \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$ en terminos de combinatoria representa la cantidad de maneras de obtener un subconjunto de " $TEX: $k$$ elementos" dentro de uno de " $TEX: $n$$ elementos" (o lo que es lo mismo, como elegir " $TEX: $k$$ elementos" dentro de " $TEX: $n$$ disponibles") Por ejemplo Si consideramos el conjunto $TEX: $\mathcal{A}=\{a,b,c,d\}$$ (4 elementos) y queremos saber como escoger 2 elementos dentro de los 4 disponibles, tienes dos opciones: Contarlos 1 por 1, obteniendo 6 en total. $TEX: $\{a,b\}$$ $TEX: $\{a,c\}$$ $TEX: $\{a,d\}$$ $TEX: $\{b,c\}$$ $TEX: $\{b,d\}$$ $TEX: $\{c,d\}$$ Calculando $TEX: $\displaystyle\binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{4}=6$$ Para una explicacion con mayor grado de detalle en los "fundamentos", puedes visitar los materiales preparados por xsebastian. http://www.fmat.cl/index.php?showforum=511 2) Pensemos ahora como calcular un producto, por ejemplo $TEX: $(a+b)(c+d)(e+f+g)$$ De el podemos observar que Los parentesis tienen 2, 2 y 3 terminos respectivamente, asi que en total tendremos 2x2x3=12 terminos si es que desarrollamos toda la expresion (dado que todos los terminos seran diferentes unos a otros, compruebelo!!!) Entre esos terminos estaran $TEX: $acf$$ , $TEX: $ade$$ , $TEX: $bcg$$ , etc... que corresponden a un producto de tres letras, tomando una de cada parentesis (y solo una). La idea de la observacion anterior, es que no necesitan desarrollar el primer parentesis con el segundo, y luego todo eso con el tercero, para poder ver quienes van a ser los terminos de la expresion. Por ejemplo, sin desarrollar, ya podemos saber que $TEX: $aef$$ no puede ser uno de los terminos en el producto, ¿por que? Pero no todo funciona de la misma forma anterior, por ejemplo $TEX: $(a+b)(a+c)(a+b)$$ En este caso notamos que La expresion final deberia tener 8 "terminos", entre comillas, pues no van a ser todos diferentes. El termino $TEX: $a^2b$$ aparece dos veces en la expresion. Como $TEX: $a\cdot a\cdot b$$ (La "a" tomadas del 1er y 2do parentesis, y la "b" del 3ero) Como $TEX: $b\cdot a\cdot a$$ (La "a" tomadas del 2er y 3er parentesis, y la "b" del 1ero) 3)Entendiendo todo lo anterior, ya estamos preparados para desarrollar, por ejemplo $TEX: $(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^4$$ Aca observamos que El producto tendra 16 "terminos", entre comillas, pues tendremos muchas repeticiones. Solo un termino sera $TEX: $a^4$$ , que equivale a que las "a" sean escogidas en el 1er,2do,3er y 4to parentesis. Apareceran 4 terminos de la forma $TEX: $a^3b$$ que son Como $TEX: $b\cdot a\cdot a\cdot a$$ (Se escogio una "b" en el 1er parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot b\cdot a\cdot a$$ (Se escogio una "b" en el 2do parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot a\cdot b\cdot a$$ (Se escogio una "b" en el 3er parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot a\cdot a\cdot b$$ (Se escogio una "b" en el 4to parentesis, y en el resto "a") Apareceran 6 terminos de la forma $TEX: $a^2b^2$$ que son Como $TEX: $b\cdot b\cdot a\cdot a$$ (Se escoge la "b" en el 1er y 2do parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $b\cdot a\cdot b\cdot a$$ (Se escoge la "b" en el 1er y 3er parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $b\cdot a\cdot a\cdot b$$ (Se escoge la "b" en el 1er y 4to parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot b\cdot b\cdot a$$ (Se escoge la "b" en el 2do y 3er parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot b\cdot a\cdot b$$ (Se escoge la "b" en el 2do y 4to parentesis, y en el resto "a") Como $TEX: $a\cdot a\cdot b\cdot b$$ (Se escoge la "b" en el 3er y 4to parentesis, y en el resto "a") Analogamente apareceran 4 terminos de la forma $TEX: $ab^3$$ y 1 termino de la forma $TEX: $b^4$$ En resumen $TEX: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$ Pero esto puede verse de la siguiente forma, poniendo especial atencion en los parentesis donde la "b" fue escogida Para obtener el termino $TEX: $a^4$$ no debemos escoger a ninguna "b", y eso se puede hacer de $TEX: $\displaystyle\binom{4}{0}$$ formas (escoger "0" parentesis dentro de 4 posibles). Apareceran 4 terminos de la forma $TEX: $a^3b$$ , y eso se puede hacer de $TEX: $\displaystyle\binom{4}{1}$$ formas(escoger "1" parentesis dentro de los 4 posibles) Apareceran 6 terminos de la forma $TEX: $a^2b^2$$ y esto se puede hacer de $TEX: $\displaystyle\binom{4}{2}$$ formas(escoger "2" parentesis dentro de los 4 posibles) que son Se escoge la "b" en el 1er y 2do parentesis Se escoge la "b" en el 1er y 3er parentesis Se escoge la "b" en el 1er y 4to parentesis Se escoge la "b" en el 2do y 3er parentesis Se escoge la "b" en el 2do y 4to parentesis Se escoge la "b" en el 3er y 4to parentesis Analogamente apareceran $TEX: $\displaystyle \binom{4}{3}$$ terminos de la forma $TEX: $ab^3$$ y $TEX: $\displaystyle\binom{4}{4}$$ terminos de la forma $TEX: $b^4$$ Resumiendo, podemos decir que $TEX: $\displaystyle (a+b)^4=\binom{4}{0}a^4+\binom{4}{1}a^3b+\binom{4}{2}a^2b^2+\binom{4}{3}ab^3+\binom{4}{4}b^4$$ o lo que es lo mismo $TEX: $\displaystyle (a+b)^4=\binom{4}{0}a^4b^0+\binom{4}{1}a^3b^1+\binom{4}{2}a^2b^2+\binom{4}{3}a^1b^3+\binom{4}{4}a^0b^4$$ Saludos PD: Cualquier duda, no dudes en volver a consultar por "los detallitos" que siempre quedan dando vuelta. De todas formas trate de ser lo mas pedagogico posible -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

fodmerlet Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2007, 11:58 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 16-July 07 Miembro Nº: 7.600 Nacionalidad: Sexo:	muchas gracias, se entendio todo

Xtreme Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2008, 10:12 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 445 Registrado: 16-December 06 Desde: Makabeando o Estudiando Miembro Nº: 3.320 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Tmb Lo Entendi Todo 8) gracias ta bsuper bueno ^^ pero se agradeceria mucho mas aun si hubiera una version .pdf xP saludos ^^ XD

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2008, 11:48 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Acá lo dejo traspasado en PDF. Binomio_de_Newton.pdf ( 30.38k ) Número de descargas: 441 Cualquier error favor avisar a través de un MP.

Va€lentina Paz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 04:55 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 3-April 08 Miembro Nº: 18.945 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ooooooooooo bacan la verdad esq sabia utilizar el binomio de newton pero ahora me qedo too mucho mas claro gracias a uds siempre dando excelentes aportes --------------------

alejandro peñalo... alejandro peñaloza c Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2008, 10:41 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 3-June 08 Miembro Nº: 25.762 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	interesante -------------------- Yo he visto cosas que vosotros no creeríais. Atacar naves en llamas más allá de Orión. He visto Rayos-C brillar en la oscuridad cerca de la Puerta de Tannhäuser. Todos esos momentos se perderán en el tiempo como lágrimas en la lluvia. Es hora de morir.

monchini Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2008, 11:20 PM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 35 Registrado: 25-May 08 Desde: Concepción Miembro Nº: 24.458 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	sinceramente no entiendo nada

XxikititoxX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2008, 11:46 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 25-March 08 Desde: Aldea Konoha Miembro Nº: 17.884 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(monchini @ Jun 7 2008, 12:10 AM) sinceramente no entiendo nada io tampoko --------------------

dalomismo... Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 12 2008, 08:39 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 18-March 08 Desde: Valdivia y varias partes que sinceramente no te debería importar XD Miembro Nº: 17.202 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(XxikititoxX @ Jun 7 2008, 12:36 AM) io tampoko Lo primero que debes entender es que el Binomio de Newton (o Teorema del Binomio) te sirve para calcular el binomio desarrollado de una forma mas rapida. Es para ganar tiempo. En el caso de que tengas un binomio elevado a un $TEX: "n"$ muy grande como 105... No vas a desarrollar el binomio elevandolo a 105 (te demorarias mucho ). Lo primero que debes saber es ver el exponente y ahi sabes cuantos terminos tiene la potencia desarrollada. Al exponente le sumas 1 $TEX: (o sea n+1)$ . Ejemplo: Si el exponente del binomio es 105, significa que la expresion desarrollada tiene $TEX: 105+1=106$ , o sea 106 terminos, donde el 1° y el ultimo termino tienen como coeficiente 1, aunque hay que fijarse bien porque no siempre puede ser 1 . Lo demas lo dijo el jefe Espero que se entienda lo que dije Saludos y que te vaya bien -------------------- Estudiante de Ingeniería Civil Acústica Universidad Austral de Chile CITA “Las matemáticas son la música de la razón” James Joseph Silvestre (1814-1897). Matemático británico. “El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide” D’Alembert (1717-1783). Matemático y filósofo francés. “La música es la aritmética de los sonidos, como la óptica es la geometría de la luz.” Claude Debussy (1862-1918) Compositor Francés “La música es un ejercicio aritmético ocultado del alma, que no sabe que está contando.” “La música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando.” Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). Filósofo y Matemático alemán. Un país que no investiga es un país que no progresa MySpace de Azotth MySpace de Denun

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