Guía VI de Variable Compleja

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Guía VI de Variable Compleja, Prof. Dr. Carlos Lizama

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ciunhaly Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2007, 11:41 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 128 Registrado: 30-June 06 Desde: En Rio de Janeiro, Brasil Miembro Nº: 1.477 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />{\Huge Gu\'ia $N^o 6$}\\<br />{\large Variable Compleja}<br />\end{center}<br />\begin{enumerate}<br /> \item Demuestre que todas las ra\'ices de $z^7-5z^3+12=0$ est\'an entre los c\'irculos $\|z\|=1$ y $\|z\|=2$.<br /> \item Suponga que $f$ es entera y que existen $M > 0$, $R > 0$, $n\geq 1$ tales que $\|f(z)\|\leq M\|z\|^n$, para $\|z\|> R$. Demuestre que $f$ es un polinomio de grado menor o igual a $n$.<br /> \item Sea $f$ anal\'itica en $\mathbb{D}$. Suponga que $\|f(z)\| \leq 1$ si $\|z\| < 1$. Demuestre que $\|f'(0)\|\leq 1$.\\<br /> Obs. $\mathbb{D} := \{z \in \mathbb{C} : \|z\| < 1\}$.<br /> \item Sea $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ continua, y holomorfa en $\mathbb{C}-[-1,1]$. Demuestre que $f$ es anal\'itica en $\mathbb{C}$ (esto es, entera).\\<br /> Ayuda: Use el teorema de Morera.<br /> \item Evaluar:<br /> \[ \displaystyle{\int_{\|z\|=3} \frac{1}{\sin(z)(1 - \cos(z))}dz } \]<br /> \item Determine el n\'umero de ra\'ices de la funci\'on<br />\[ f(z) = z^9 - 2z^6 + z^2 - 8z - 2 \]<br />en el interior del c\'irculo $\|z\| < 1$.<br /> \item Supongamos que $f$ es anal\'itica en $\mathbb{D}(0, 2)$/\{0\} y que para cada n\'umero natural $n\geq0$ se cumple que:<br /> \[ \displaystyle{\int_{\|z\|=1}z^nf(z)dz=0} \]<br /> Demuestre que en tal caso $z = 0$ es una singularidad reparable de $f$. <br /> \item Evalue: \[\displaystyle{\int_{\|z\|=4}\frac{e^z}{(z^2+\pi^2)^2}dz}\]<br /> \item Demuestre que \[\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x(1+x^2)}dx=\pi\left( 1-\frac{1}{e} \right)}\]<br /> Sugerencia: Calcule $\displaystyle{\int_C \frac{e^{iz}}{z(1+z^2)}dz}$ en un camino apropiado.<br /> \item Demuestre que \[ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\cos(x)dx=e^{\frac{1}{4}}\sqrt{\pi}} \]<br />\end{enumerate}$ -------------------- _______________________________________________________________ "La primera regla de la enseñanza es saber lo que se debe enseñar. La segunda, es saber un poco más de aquello que se debe enseñar". George Polya Eu sou uma estudante da UFRJ.

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2007, 08:45 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(ciunhaly @ Jul 18 2007, 11:41 PM) $TEX: <br /> Sea $f$ anal\'itica en $\mathbb{D}$. Suponga que $\|f(z)\| \leq 1$ si $\|z\| < 1$. Demuestre que $\|f'(0)\|\leq 1$.\\<br /> Obs. $\mathbb{D} := \{z \in \mathbb{C} : \|z\| < 1\}$.<br />$ Por la formula integral de Cauchy, y usando las propiedaes de modulos se tiene que : $TEX: $\displaystyle \|f'(0)\|=\left\| \frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{D}}\frac{f(z)}{(z-0)^2}dz \right\|\leq \frac{1}{2\pi }\int_{\mathbb{D}}\frac{\|f(z)\|}{\|z^2\|}\|dz\| \leq \frac{1}{2\pi }\int_{\mathbb{D}}\|dz\| \leq \frac{2\pi}{2\pi}=1$$ Se concluye que $TEX: $\|f'(0)\|\leq 1\blacksquare$$ salu2

master_c	May 25 2011, 09:54 PM Publicado: #3
Invitado	8) tenemos $TEX: $\int_{\left\| z \right\| = 4} {\frac{{e^z }}{{\left( {z^2 + \pi ^2 } \right)^2 }}dz = 2\pi i\left( {\Re es\left( {f\left( z \right),\pi i} \right) + \Re es\left( {f\left( z \right), - \pi i} \right)} \right)}$$ los polos claramente son de orden 2 $TEX: $$<br />\int_{\left\| z \right\| = 4} {\frac{{e^z }}<br />{{\left( {z^2 + \pi ^2 } \right)^2 }}dz = 2\pi i\left( {\Re es\left( {f\left( z \right),\pi i} \right) + \Re es\left( {f\left( z \right), - \pi i} \right)} \right)} = \frac{{2\pi i}}<br />{{4\pi ^3 }}\left( {\left( {\pi + i} \right) + \left( {\pi - i} \right)} \right) = \frac{i}<br />{\pi }<br />$$$

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