 Peps - segundo semestre 2006 |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Santiago de Chile > Tópicos I  |
 Jul 18 2007, 03:26 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
En este topic, voy a ir dejando las PEP's del semestre en que me toco dar Topicos I.
Saludos!  ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{PEP 1 - Topicos I (segundo semeste 2006)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{1}\text{. - Un angulo del centro que mide 2}\alpha \text{ subtiende un arco de circunferencia AMB de 100mts}\text{. } \hfill \\<br /> \text{y la distancia del centro de la cuerda AB al centro M del arco mide 20 mts}\text{.} \hfill \\<br /> \text{Calcular el readio de circunferencia}\text{, usando:} \hfill \\<br /> \text{a)Algoritmo de Newton - Raphson} \hfill \\<br /> \text{b)Un algoritmo de punto fijo convergente}\text{, distinto de newton raphson}\text{.} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{2}\text{. - a) Demuestre que }\frac{{\text{f(x)}}}<br />{{\text{f'(x)}}}\text{tiene una raiz simple p si f(x) = (x - p)}^\text{m} q(x),m > 1,q(p) \ne 0 \hfill \\<br /> \text{b)Pruebe que si aplicamos metodo de newton - raphson para hallar la raiz simple p de }\frac{{\text{f(x)}}}<br />{{\text{f'(x)}}}\text{,} \hfill \\<br /> \text{ entonces se obtiene el metodo }x_{k + 1} = g(x_k ),k = 0,1,2.. \hfill \\<br /> \text{con g(x) = x - }\frac{{\text{f(x)} \cdot \text{f'(x)}}}<br />{{[f(x)]^2 - f(x) \cdot f''(x)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 3. - Considere\text{ }el\text{ }sistema\text{ }lineal\text{ }en\text{ }M_3 (\Re ),\text{ }con\text{ }\lambda \text{ } \in \Re \hfill \\<br /> \left[ {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & { - 1} & 3 \\<br /> 2 & 1 & 4 \\<br /> 2 & \lambda & 6 \\<br /><br /> \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}<br /> {x_1 } \\<br /> {x_2 } \\<br /> {x_3 } \\<br /><br /> \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}<br /> { - 5} \\<br /> 1 \\<br /> {3\lambda - 4} \\<br /><br /> \end{array} } \right] \hfill \\<br /> \text{a) Determine para que valores de }\lambda \text{ existe una unica solucion y explicite cual es} \hfill \\<br /> \text{b) busque si existe una solucion }\vec x\text{ para }\lambda = - 2\text{ que tenga la condicion de que }\left\| {\vec x} \right\|_2 = 1 \hfill \\<br /> \text{c) asuma que en la descomposicion de Gauss }A = LU,\text{ con }\lambda = 0,\text{ se tiene que} \hfill \\<br /> U^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & {{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$3$}}} & {{\raise0.7ex\hbox{${ - 7}$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {{ - 7} 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} \\<br /> 0 & {{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$3$}}} & {{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} \\<br /> 0 & 0 & {{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} \\<br /><br /> \end{array} } \right] \hfill \\<br /> Calcule\text{ }A^{ - 1} \text{ }usando\text{ }los\text{ }datos\text{ }anteriores.\text{ }Compruebe\text{ }su\text{ }resultado \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1184790360.gif)
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Jul 18 2007, 04:03 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{PEP 2 - Topicos I (segundo semeste 2006)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{1}\text{. - El metodo de Jacobi es un metodo iterativo de la forma: x}^{\text{k + 1}} = M_{jac} x^k + c\text{ (1)} \hfill \\<br /> \text{donde }M_{jac} \text{ es la matriz de iteracion}\text{.} \hfill \\<br /> \text{i) verifique que el esquema (1) puede escribirse de la forma: x}^{\text{k + 1}} = \text{x}^\text{k} + z^k \text{ (2)} \hfill \\<br /> \text{donde: z}^\text{k} = c - B_{jac} x^k \text{ con }B_{jac} = I - M_{jac} \hfill \\<br /> \text{ii) Para obtener un metodo de relajacion se introduce en (2) el coeficiente }\omega \text{ para obtener:} \hfill \\<br /> \text{x}^{\text{k + 1}} = x^k + \omega z^k \text{ (3)} \hfill \\<br /> \text{Use el metodo (3) con }\omega = 0.5\text{ para estimar la aproximacion x}^{\text{(2)}} \text{ del sistema:} \hfill \\<br /> \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> \text{3} & { - 1} & 0 & 0 \\<br /> { - 1} & 3 & { - 1} & 0 \\<br /> 0 & { - 1} & 3 & { - 1} \\<br /> 0 & 0 & { - 1} & 3 \\<br /><br /> \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> {x_1 } \\<br /> {x_2 } \\<br /> {x_3 } \\<br /> {x_4 } \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> {10} \\<br /> {12} \\<br /> {12} \\<br /> {10} \\<br /><br /> \end{array} } \right)\text{ (4)} \hfill \\<br /> \text{iniciando con x}^{\text{(0) }} = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{2}\text{. - a) encuentre los coeficientes de una cuadratura que tiene la forma } \hfill \\<br /> \int\limits_0^{{\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {f(x) = a \cdot f(0) + b \cdot f(\frac{\pi }<br />{4})} + c \cdot f(\frac{\pi }<br />{2}) \hfill \\<br /> \text{y que es exacta para funciones que son combinacion lineal de B = \{ }1,\cos (x),\cos ^2 (x)\text{\} } \hfill \\<br /> \text{b)Use item a) para aproximar }\int\limits_0^\pi {\left( {1 + 2\cos (x) + 3sen^2 (x)} \right)} dx\text{ } \hfill \\<br /> \text{y calcule el porcentaje de error cometido} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1184792633.gif) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 3. - \text{ Un elemento l - D es un trazo lineal rotulado como }(i)\text{ con punto inicial }x_i \text{ y final }x_j \hfill \\<br /> \text{a) Muestre que el polinomio de interpolacion lineal para f(x) en este elemento es:} \hfill \\<br /> \phi (x) = N_i (x)f(x_i ) + N_j f(x_j ) \hfill \\<br /> \text{donde }N_i (x) = \frac{{x_j - x}}<br />{{x_j - x_i }}\text{ }N_j = \frac{{x - x_i }}<br />{{x_j - x_i }}\text{ } \hfill \\<br /> \text{b) Use el item a) para explicitar una aproximacion numerica de }f(x) = \frac{1}<br />{{x^2 + 1}}\text{ } \hfill \\<br /> \text{por una linea poligonal en el intervalo }I = \left[ {0,5} \right]\text{ con elementos de longitud igual a uno} \hfill \\<br /> \text{c) Utilice trapecio de orden 5 para aproximar la integral }\int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 5}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$5$}}}^\infty {\frac{{dx}}<br />{{x^2 + 1}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1184792637.gif)
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Jul 18 2007, 04:53 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{PEP 3 - Topicos I (segundo semeste 2006)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{1}\text{. - El problema de difusion para una barra finita de 4 metros esta dado por} \hfill \\<br /> \frac{{\partial U}}<br />{{\partial t}} - \frac{{\partial ^2 U}}<br />{{\partial x^2 }} = e^{ - t} \cos (\pi x) \hfill \\<br /> U(x,0) = x \hfill \\<br /> U_x (0,t) = t^2 \hfill \\<br /> U(4,0) = 0 \hfill \\<br /> \text{a ) Suponiendo un mallado espacio temporal cuadrado con }\Delta \text{t = 1seg}\text{, }\Delta x\text{ = 1cm} \hfill \\<br /> \text{Caracterize la discretizacion explicita en un nodo (x}_\text{i} \text{,t}_\text{j} \text{)} \hfill \\<br /> \text{b) Determine una aproximacion numerica despues de 2 segundos a 1}\text{, 2 y 3 metros respectivamente } \hfill \\<br /> \text{del extremo izquierdo de la barra}\text{.} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \text{2}\text{. - Dado el problema x''(t) + t} \cdot \text{x'(t) - }\frac{{\text{x}^\text{2} (t)}}<br />{{\text{t + 1}}} = - 1,\text{ x(0) = 1 = x'(0) } \hfill \\<br /> \text{con solucion analitica x(t) = t + 1} \hfill \\<br /> \text{a) Usando como predictor el metodo de Euler}\text{, determine el error numerico} \hfill \\<br /> \text{cometido al usar el metodo de Simpson:} \hfill \\<br /> \text{x}_{\text{n + 2}} = x_n + \frac{h}<br />{3}\left[ {f(t_n ,x_n ) + 4f(t_{n + 1} ,x_{_{n + 1} }^* ) + f(t_{n + 2} ,x_{_{n + 2} }^* )} \right] \hfill \\<br /> \text{despues de que han transcurrido 0}\text{,1 segundos}\text{.} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1184795582.gif) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{3}\text{. - Dado el conjunto \{ }\phi _\text{i} \text{\} }_{\text{i = 1}}^{\text{i = m}} \text{ ortogonal entonces los coeficientes de fourier }\frac{{\left\langle {\text{f}\text{,}\phi _\text{k} } \right\rangle }}<br />{{\left\| {\phi _\text{k} } \right\|^2 }} \hfill \\<br /> \text{minimizan }S = \int\limits_a^b {w(x)\left[ {f(x) - \sum\limits_{j - 1}^m {\alpha _j \phi _j (x)} } \right]} ^2 dx.\text{ dada }f(x) = e^{ - 3x} \hfill \\<br /> \text{a) La base }B = \left\{ {\frac{x}<br />{{\sqrt 2 }},\frac{{x^2 - 3x}}<br />{{\sqrt 6 }}} \right\}\text{ es ortonormal con respecto a la funcion peso }w(x) = e^{ - x} \text{ } \hfill \\<br /> \text{con }x \in \left[ {0,\infty } \right[. \hfill \\<br /> \text{Encuentre la aproximacion en minimos cuadrados continuos con }x \in \left[ {0,\infty } \right[\text{ como una} \hfill \\<br /> \text{combinacion lineal de elementos de B}\text{.} \hfill \\<br /> \text{Indicacion: }\Gamma (n) = \int\limits_o^\infty {x^{n - 1} e^{ - x} dx = (n - 1)!} \hfill \\<br /> \text{b) Calcule una aproximacion lineal minimax usando el metodo de Remez} \hfill \\<br /> \text{en }[0,2]\text{ usando los nodos \{ 0}\text{,1}\text{,2\} y compare los errores del error global}\text{.} \hfill \\<br /> E = \sum\limits_{i = 1}^{i = 3} {\left| {E_i } \right|\text{ donde }E_i = \left| {f(x_i ) - p(x_i )} \right|} \text{ para ambas aproximaciones}\text{.} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1184795585.gif)
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Nov 4 2007, 02:51 PM
Publicado:
#4
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 Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 26-March 06 Desde: USACH Miembro Nº: 713 Nacionalidad: Sexo: |
Hola!
Oye la pauta de esa pep 3 no la tienes por casualidad?? y otra duda esa ecuacion diferencial la forma de resolucion es la misma a la q haciamos antes en ecuaciones diferenciales?? --------------------  ...HeMoS RoTo NuEsTrOs EsPeJoS... |
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Nov 4 2007, 08:43 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
la pauta creo que la tengo en mi cuaderno, tendria que buscar.
respecto a la ec.dif. la puedes resolver como en ecua. pero esa no es la idea. la idea era aplicar el metodo enseñado en topI, consiste en hacer un reemplazo de las derivadas y luego obtener una solucion numerica. Saludos!
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Nov 5 2007, 04:14 PM
Publicado:
#6
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Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 26-March 06 Desde: USACH Miembro Nº: 713 Nacionalidad: Sexo: |
Oye y seria mucho si pudieras subir la respuesta o algo asi por fa, es q lo q pasa es quiero adelantarme en la materia para q no se me acumule todo, y quiero empezar viendo la forma de resolucion de las pep (sobre todo de esa )
bueno se agradece 
-------------------- ...HeMoS RoTo NuEsTrOs EsPeJoS... |
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May 28 2008, 08:06 PM
Publicado:
#7
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 28-May 08 Miembro Nº: 24.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
excelente aporte...la verdad es que tenia una pauta de respuestas, pero me faltaban los enunciados...vale además por el trabajo de escribirlas en latex!!
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Jun 29 2009, 01:30 AM
Publicado:
#8
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 Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 124 Registrado: 30-April 09 Desde: Mar de Dirac Miembro Nº: 49.897 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Vale, gracias por pasarlas a Látex
-------------------- ¿Saber por saber, o saber por aplicar? |
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Jul 28 2009, 01:19 AM
Publicado:
#9
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 Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 223 Registrado: 10-October 06 Miembro Nº: 2.459 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
Seria bueno que siguieran subiendo pruebas de Topicos I, de semestres mas recientes.. igual de todas formas las ya subidas estan rewenas, se agradecen y ojalá alguien se paletee con más!
--------------------    Eduardo Purin M. Estudiante de Ingenieria Civil en Industria, USACH 6to Año |
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Jul 30 2009, 07:20 PM
Publicado:
#10
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 30-July 09 Miembro Nº: 56.199 |
este ramo no era tan dificil como me contaron
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