Sucesión de enteros - Foro fmat.cl

Sucesión de enteros, Resuelto por The Lord [básico]

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2007, 09:02 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Defina la sucesión $TEX: $x_1, x_2, \ldots$$ por • $TEX: $x_1=2$$ • $TEX: $nx_n=2(2n-1)x_{n-1}\ (n=2, 3, \ldots)$$ Pruebe que $TEX: $x_n$$ es entero $TEX: $(n=2, 3, \ldots)$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2007, 11:25 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jul 16 2007, 10:02 PM) Defina la sucesión $TEX: $x_1, x_2, \ldots$$ por • $TEX: $x_1=2$$ • $TEX: $nx_n=2(2n-1)x_{n-1}\ (n=2, 3, \ldots)$$ Pruebe que $TEX: $x_n$$ es entero $TEX: $(n=2, 3, \ldots)$$ Saludos Por las condiciones de la recurrencia claramente no hay ningun factor nulo. Haciendo el producto de todas las relaciones de recurrencia hasta n, obtenemos: $TEX: $n!\prod\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} {x_i } = 2^n(\prod\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} {(2i - 1)})( \prod\limits_{1 \leqslant i \leqslant n - 1} {x_i })$$ Simplificando y separando a $TEX: $x_n$$ : $TEX: $ x_n = \dfrac{2^n \prod\limits_{i = 1}^n {(2i - 1)} }{n!}$$ Además: $TEX: $\prod\limits_{i = 1}^n {(2i - 1)}=\dfrac{{2n!}}{{2^n n!}}$$ Finalmente: $TEX: $x_n=\dfrac{2n!}{n!n!}$$ Lo cual es un entero considerando la cantidad de subconjuntos de n elementos de un total de 2n (claramente entero). Saludos PD: Era rapida la solución, por eso postee (obvio que cachai, si todos cachan)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2007, 11:35 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Correcto. Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2008, 04:00 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Creo que hay un error de tipeo debe decir $TEX: $\prod\limits_{i=1}^n (2i-1)=\dfrac{(2n)!}{2^nn!}$$ y $TEX: $x_n=\dfrac{(2n)!}{n!n!}$$ que es entero pues es igual a $TEX: $\dbinom{2n}{n}$$ . Eso creo Saludos PD: Me gusto el problema

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