Introduccion al Razonamiento Matematico - Foro fmat.cl

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Introduccion al Razonamiento Matematico, Examen de conocimientos relevantes

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2007, 03:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Problema 1\\<br />Sea $X$ un conjunto y $P(X)$ el conjunto de sus partes. Demostrar que<br />$$P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)$$<br />Es verdad que $P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$ ?\\<br />\\<br />Problema 2\\<br />De cuantas maneras se puede dividir en $3$ grupos iguales una clase de $15$ alumnos?\\<br />\\<br />Problema 3\\<br />En una sala hay $1001$ personas. Demuestre que al menos dos de ellas tienen la misma cantidad de amigos en la sala.\\<br />\\<br />Problema 4\\<br />Sea $p>3$ primo y $n$ un entero tal que $p^n$ tiene exactamente $20$ cifras en notacion decimal. Demuestre que algun digito esta escrito al menos $3$ veces en la representacion base $10$ de $p^n$.\\<br />\\<br />Saludos<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Vicho_Correa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 12 2007, 02:04 AM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 19-July 06 Desde: Conce, Jazz Capitol Miembro Nº: 1.716 Nacionalidad: Sexo:	Aquí va mi solución al 4. Me costó un mundo redactarla, asi que cualquier corrección es apreciada, pero creo que se entiende... $TEX: \boxed{P4} Supongamos que $p^{n}$ tiene a lo m\'as 2 d\'igitos iguales. Sea $A=\{k /k \in \mathbb{Z}^{+}\wedge k\leq 20\}$. Sea $D$ el conjunto de los d\'igitos de $p^{n}$, definido como $D=\{d_k /k \in A \}$. Consideremos el conjunto $P_{k}=\{d_{i}/d_{i}=d_{k}\}$. Es de notar que $0<\#P_{k}<3$.<br />\\<br />\\<br />\underline{Proposici\'on}: $\forall k, \#P_{k}=2$<br /><br />$Dem$: Supongamos que $\exists\, q\, /\#P_{q}=1$. Consideremos el conjunto $N=\{k /k\in\{\mathbb{Z}^{+}-\{d_{q}\}\}\wedge k<10\}$. Notemos que para cada $k\in N$ existen a lo m\'as 2 elementos en $D$ iguales a $k$, por lo que $\#D \leq 19$. $\rightarrow\leftarrow$<br />\\<br />\\<br />Luego, sin p\'erdida de la generalidad podemos asumir que $d_1=d_{11}, d_2=d_{12},..., d_{10}=d_{20}$, donde claramente $d_1\neq d_2\neq ...\neq d_{10}$. Distinguimos ahora 2 casos (evidentemente se ha descartado el caso $n=0$):<br />\\<br />\\<br />\underline{Caso 1}: $n$ es positivo.<br /><br />Vemos que,<br />$$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}d_k=45\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=1}^{20}d_k=90\,(\ast)\Rightarrow3\vert p^{n}$$<br />\noindent lo que refuta lo asumido al principio de la demostraci\'on.<br />\\<br />\\<br />\underline{Caso 2}: $n$ es negativo.<br /><br />Sea $p^{n}=d'_{20},d'_{19}...d'_2d'_1$, donde $\forall\,k\in A,d_k=d'_m$ para alg\'un $m\in A$ (aunque no nos afectar\'a mayormente, notar que $d'_{20}=0$). Sea $m=-n$. Luego,<br />$$p^{m}=\dfrac{10^{19}}{10^{19}d'_{20}+10^{18}d'_{19}+...+10d'_{2}+d'_{1}}$$<br />\noindent donde, por $(\ast)$, el denominador de la fracci\'on a la derecha es m\'ultiplo de 3, luego $p^{m}$ no es un entero. Nuevamente se refuta lo asumido al principio de la demostraci\'on.<br />\\<br />\\<br />Finalmente no es posible lo asumido, probando lo pedido.<br />$

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 12 2007, 09:50 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Vicho_Correa @ Jul 12 2007, 03:04 AM) Aquí va mi solución al 4. Me costó un mundo redactarla, asi que cualquier corrección es apreciada, pero creo que se entiende... $TEX: \boxed{P4} Supongamos que $p^{n}$ tiene a lo m\'as 2 d\'igitos iguales. Sea $A=\{k /k \in \mathbb{Z}^{+}\wedge k\leq 20\}$. Sea $D$ el conjunto de los d\'igitos de $p^{n}$, definido como $D=\{d_k /k \in A \}$. Consideremos el conjunto $P_{k}=\{d_{i}/d_{i}=d_{k}\}$. Es de notar que $0<\#P_{k}<3$.<br />\\<br />\\<br />\underline{Proposici\'on}: $\forall k, \#P_{k}=2$<br /><br />$Dem$: Supongamos que $\exists\, q\, /\#P_{q}=1$. Consideremos el conjunto $N=\{k /k\in\{\mathbb{Z}^{+}-\{d_{q}\}\}\wedge k<10\}$. Notemos que para cada $k\in N$ existen a lo m\'as 2 elementos en $D$ iguales a $k$, por lo que $\#D \leq 19$. $\rightarrow\leftarrow$<br />\\<br />\\<br />Luego, sin p\'erdida de la generalidad podemos asumir que $d_1=d_{11}, d_2=d_{12},..., d_{10}=d_{20}$, donde claramente $d_1\neq d_2\neq ...\neq d_{10}$. Distinguimos ahora 2 casos (evidentemente se ha descartado el caso $n=0$):<br />\\<br />\\<br />\underline{Caso 1}: $n$ es positivo.<br /><br />Vemos que,<br />$$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}d_k=45\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=1}^{20}d_k=90\,(\ast)\Rightarrow3\vert p^{n}$$<br />\noindent lo que refuta lo asumido al principio de la demostraci\'on.<br />\\<br />$ Correcto, con eso basta... Error mio no decir que $TEX: $p^m$$ era entero, pero al postear este examen lo hice con lo que recordaba porque le pase la hoja a Kamelot despues del la prueba, luego, la redaccion no es la misma que en el original. Saludos PD: Que bonito contar con ramos como este en la carrera... aunque me lo saque -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

locusamoris Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 01:29 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 112 Registrado: 2-June 07 Miembro Nº: 6.357	Problema 2.- Para el primer grupo serán las distintas agrupaciones formadas con 5 personas, eligiéndolos de entre los 15 Para el segundo, formadas con 5 personas, eligiendolas entre los 10 restantes. Finalmente el ultimo grupo queda creado con los restantes 5. Se divide por el total de permutaciones que hay entre los grupos 3! $TEX: \[<br />\frac{{C_{15}^5 \cdot C_{10}^5 \cdot C_5^5 }}<br />{{3!}} = \frac{{\tfrac{{15!}}<br />{{5!10!}} \cdot \tfrac{{10!}}<br />{{5!5!}}}}<br />{{3!}}<br />\]$ -------------------- < romero jazmin flor de naranjo >

locusamoris Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 01:36 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 112 Registrado: 2-June 07 Miembro Nº: 6.357	Problema 3.- Para cada una de las 1001 personas pueden tener desde 0 a 1000 amigos. (en total 1001) Pero si hay una persona que tiene 0 amigos la máxima cantidad que puede tener otra persona es 999. (1000) Y si no hay persona que tenga 0 amigos, entonces el máximo puede ser 1000. (1000) Luego, de las 1001 personas, 1000 de ellas pueden tener una cantidad de amigos distintos, por lo que la persona sobrante tendrá que tener la misma cantidad que uno de esos 1000. -------------------- < romero jazmin flor de naranjo >

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2007, 02:52 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(Pasten @ Jul 11 2007, 04:52 PM) $TEX: \noindent<br />Problema 1\\<br />Sea $X$ un conjunto y $P(X)$ el conjunto de sus partes. Demostrar que<br />$$P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)$$<br />Es verdad que $P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$ ?\\<br />\\<br />$ Sea $TEX: $C\in P(A\cap B)$$ . Luego $TEX: \noindent $C\subseteq (A\cap B)\implies (C\subseteq A) \wedge (C\subseteq B)\implies C\in P(A)\wedge C\in P(B)\implies C\in (P(A)\cap P(B))\therefore P(A\cap B)\subseteq(P(A)\cap P(B))$$ Ahora, sea $TEX: $D\in (P(A)\cap P(B))$$ $TEX: \noindent $D\in (P(A)\cap P(B))\implies (D\in P(A))\wedge (D\in P(B))\implies (D\subseteq A)\wedge (D\subseteq B)\implies D\subseteq (A\cap B)\implies D\in P(A\cap B)\therefore (P(A)\cap P(B))\subseteq P(A\cap B)$<br />$ Se tiene entonces que: $TEX: \noindent $P(A\cap B)\subseteq (P(A)\cap P(B))\wedge (P(A)\cap P(B))\subseteq P(A\cap B)\therefore P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)\blacksquare$$ ---- No es verdad que $TEX: $P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$$ , basta darse un contraejemplo sencillo, tomemos $TEX: $A=\{1,2\}$$ y $TEX: $B=\{2,3\}$$ . Claramente $TEX: $P(A\cup B)\nsubseteq P(A)\cup P(B)$$ pues $TEX: $\{1,2,3\}\in P(A\cup B)$$ , sin embargo $TEX: $\{1,2,3\}\notin (P(A)\cup P(B))$<br />$ , luego, la igualdad no se verifica. saludos

cristianyireh Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2008, 03:08 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 216 Registrado: 6-August 07 Desde: concepcion Miembro Nº: 8.270 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />se me ocurrio este pensamiento para el problema 4 \\<br />podemos ver los siguientes casos\\<br />a) si los 20 digitos son todos iguales seria divisible por 111111111111111111111 \\<br />b) si todos los numeros se repitiesen solo dos veces se tendria que seria divisible por 3 pues la suma de los digitos de $P^n$ seria 90 ya que los numeros son 0,1,2,3.....9. repetidos dos veces <br />\\<br />luego algun numero debe repetirse mas de dos veces.\\<br />q.e.d<br /><br />$ -------------------- nada se compara al placer matematico aunque esquivo vale la pena buscarlo

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2011, 10:39 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2.- Se tienen primero 15 alumnos y de ellos me interesa las formas de sacar 5 de ellos $TEX: $C \binom{15}{5}$$ , luego teniendo en cuenta que ya saqué 5 alumnos, es $TEX: $C\binom{10}{5}$$ , de forma análoga ahora solo es $TEX: $C\binom{5}{5}=1$$ , como estos "eventos" deben ser simultáneos, entonces por principio multiplicativo se tendrá que el total de formas en que esto puede ocurrir es: $TEX: $C \binom{15}{5} \cdot C\binom{10}{5} \cdot C\binom{5}{5}$$ . No es necesario dividir por la permutación de estos 3 grupos, pues preguntan en cuantas formas se pueden dividir, no en cuantas formas se puede ordenar estos 3 grupos Saludos! PD: me llamó la atención el nombre de este subforo, bacán un ramo así -------------------- Me voy, me jui.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2011, 01:25 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(El Geek @ Sep 17 2011, 10:39 PM) bacán un ramo así depende quién lo dicte -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

lipexx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2012, 01:44 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 80 Registrado: 10-May 07 Desde: Chillán Miembro Nº: 5.752 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tengo una demostración para el P3: Por contradicción, supongamos que es falso que al menos dos personas tienen la misma cantidad de amigos dentro de la sala; luego supongamos que ninguna persona tiene la misma cantidad de amigos dentro de la sala. Luego es evidente que a lo mas una persona en la sala puede tener 1000 amigos; ya que no peude ser amigo de si mismo. Y a lo menos puede tener 0 amigos. luego las cantidades de amigos 0,1,2,3,4,....1000; estarian repartidas para cada uno de las personas. Esto satisface la suposición de que cada persona tenga una cantidad diferente de amigos en la sala. Pero ahora notemos que la persona con 1000 amigos si o si es amigo de todos los demas en la sala; eso incluye a la persona que tiene 0 amigos, Esto nos lleva a una contradicción. Y por ende queda demostrado. Bueno ojala opinen que onda, pa cachar si esta bien esta demostración o esta muy flaite,jaja. Saludos chau!! Mensaje modificado por lipexx el May 26 2012, 01:53 AM

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