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Examen Calculo I 2007, MAT1503

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 02:24 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1503 CALCULO I \\<br />EXAMEN \\<br />$ $ \\<br />(1) a) Calcule ${f'(1)}$, donde \\<br />$${f(x) = \ln\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right) + \arctan(x^2)}$$ \\<br /><br />b) Analice la derivabilidad en ${x=0}$ de la funci\'on \\<br />$${f(x) = 2x-\sin(\|x\|)}$$ \\<br />$ $ \\<br />(2) a) Pruebe que para todo ${x \in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]}$ se tiene que \\<br />$${x-\dfrac{x^3}{6} \le \sin(x)}$$ \\<br /><br />b) Calcule, justificando sus pasos, el siguiente l\'imite \\<br />$${ \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}}$$ \\<br />$ $ \\<br />(3) Considere la curva ${C}$ y la l\'inea ${L}$ en el plano dadas por: \\<br />$${C: x^3+xy+y^3 = 3}$$<br />$${L: x+y = 4}$$<br />Determine todas las retas tangentes a ${C}$ paralelas a la recta ${L}$ \\<br />$ $ \\<br />(4) Encuentre la ecuaci\'on de la recta que pasa por ${A=(8,1)}$ y que corta los semiejes positivos ${OX}$ y ${OY}$ en los puntos ${P}$ y ${Q}$ respectivamente, de modo que el trazo ${\overline {PQ}}$ sea m\'inimo. \\<br />$ Mensaje modificado por EnnaFrad el Jul 7 2007, 02:28 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 02:59 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $(1)\ a)f(x)=\ln\left( \dfrac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right) + \mathrm{arctan}(x^2)$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x} \left( \dfrac{x}{1+\sqrt{1+x^2}} \right)' + \dfrac{1}{1+x^4} 2x$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x} \left( \dfrac{1+\sqrt{1+x^2}-x\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{(1+\sqrt{1+x^2})^2} \right) + \dfrac{2x}{1+x^4}$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}} \right) + \dfrac{2x}{1+x^4}$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{2x}{1+x^4}$$ $TEX: $f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1=\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}$$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 7 2007, 03:01 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 08:17 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: (1) b)$ $TEX: $f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$$ $TEX: $f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{2(0+h)-\mathrm{sen}(\|0+h\|)-(0-\mathrm{sen}(\|0\|))}{h}$$ $TEX: $f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{2h-\mathrm{sen}(\|h\|)+0}{h}$$ $TEX: $f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{2-\dfrac{\mathrm{sen}(\|h\|)}{h}}$$ $TEX: $(i)\displaystyle\lim_{h\to {0+}}{2-\dfrac{\mathrm{sen}(\|h\|)}{h}}=f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to {0+}}{2-\dfrac{\mathrm{sen}(h)}{h}}=2-1=1$$ $TEX: $(ii)\displaystyle\lim_{h\to {0-}}{2-\dfrac{\mathrm{sen}(\|h\|)}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to {0-}}{2-\dfrac{\mathrm{sen}(-h)}{h}}$$ $TEX: $ =\displaystyle\lim_{h\to {0-}}{2+\dfrac{\mathrm{sen}(h)}{h}}=2+1=3$$ $TEX: Como los limites laterales son distintos, f'(0) no existe, lo que permite concluir que f no es derivable en x=0$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 7 2007, 08:29 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2007, 05:20 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: (2) b)$ $TEX: $\displaystyle\lim \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim \displaystyle\sqrt[n]{n\left( 1+\dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} \right)}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim \sqrt[n]{n}\displaystyle\sqrt[n]{1+\dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} }$$ $TEX: Aplicamos algebra de limites$ $TEX: $=1\displaystyle\sqrt[n]{1+0 }=1$$ $TEX: $\left( \dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} \rightarrow 0 \right)$$ $TEX: (nula por acotada)$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 9 2007, 05:25 PM

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2008, 11:11 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tengo otra solucion para (2)b) pero me salio tan facil que estoy convencido que tiene algo malo xD $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaGGOa<br />% GaaGOmaiaacMcacaWGIbGaaiykamaaxababaGaciiBaiaacMgacaGG<br />% TbaaleaacaWGUbGaeyOKH4QaeyOhIukabeaakmaakeaabaGaamOBai<br />% abgUcaRmaakeaabaGaamOBaaWcbaGaamOBaaaaaeaacaWGUbaaaOGa<br />% eyypa0ZaaCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaad6gacqGHsg<br />% IRcqGHEisPaeqaaOWaaeWaaeaacaWGUbGaey4kaSYaaOqaaeaacaWG<br />% UbaaleaacaWGUbaaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaadaWcaa<br />% qaaiaaigdaaeaacaWGUbaaaaaaaOqaaaqaaiaabggacaqGObGaae4B<br />% aiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaabohacaqGPbGaaeiiaiaabggacaqGWb<br />% GaaeiBaiaabMgacaqGJbGaaeyyaiaab2gacaqGVbGaae4Caiaabcca<br />% caqGHbGaaeiBaiaabEgacaqGLbGaaeOyaiaabkhacaqGHbGaaeiiai<br />% aabsgacaqGLbGaaeiiaiaabYgacaqGPbGaaeyBaiaabMgacaqG0bGa<br />% aeyzaiaabohacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaaeyzaiaabIhaca<br />% qGWbGaae4Baiaab6gacaqGLbGaaeOBaiaabshacaqGLbGaaeiiaiaa<br />% bwgacaqGZbGaaeiiaiaabogacaqGLbGaaeOCaiaab+gacaqGSaGaae<br />% iiaiaabchacaqGVbGaaeOCaiaabccacaqGSbGaae4BaiaabccacaqG<br />% JbGaaeyDaiaabggacaqGSbGaaeiiaiaabshacaqGVbGaaeizaiaabg<br />% gacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqG0bGaaeOC<br />% aiaabwhacaqG0bGaaeyDaiaabkhacaqGHbaabaGaaeiDaiaabMgaca<br />% qGLbGaaeOBaiaabwgacaqGGaGaaeODaiaabggacaqGSbGaae4Baiaa<br />% bkhacaqGGaGaaeymaaaaaa!AF21!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> (2)b)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{n + \sqrt[n]{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n + \sqrt[n]{n}} \right)^{\frac{1}<br />{n}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ahora si aplicamos algebra de limites el exponente es cero}}{\text{, por lo cual toda la estrutura}} \hfill \\<br /> {\text{tiene valor 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2011, 12:53 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Jul 7 2007, 03:24 PM) $TEX: <br />(2) a) Pruebe que para todo ${x \in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]}$ se tiene que \\<br />$${x-\dfrac{x^3}{6} \le \sin(x)}$$ \\<br />$ Sea $TEX: $f(x)=\sin (x)+\frac{1}{6}x^3-x$$ , y por comodidad, denotemos por $TEX: $I$$ al intervalo del enunciado. Veamos que $TEX: $f'''(x)=1-\cos(x)\ge0$$ para todo $TEX: $x\in I$$ . De esto se deduce que $TEX: $f''(x)=x- \sin(x)$$ es creciente y por lo tanto $TEX: $f''(x)\ge f''(0)=0$$ para todo $TEX: $x\in I$$ . Esto significa que $TEX: $f'(x)=\cos(x)+\frac{1}{2}x^2-1$$ es creciente en $TEX: $I$$ por ende $TEX: $f'(x)\ge f'(0)=0$$ para todo $TEX: $x\in I$$ . De esto último obtenemos que $TEX: $f(x)$$ es creciente en $TEX: $I$$ y por lo tanto $TEX: $f(x)\ge f(0)=0$$ para todo $TEX: $x\in I$$ , demostrando lo pedido. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2011, 02:19 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(beethoven @ Jul 9 2007, 06:20 PM) $TEX: (2) b)$ $TEX: $\displaystyle\lim \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim \displaystyle\sqrt[n]{n\left( 1+\dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} \right)}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim \sqrt[n]{n}\displaystyle\sqrt[n]{1+\dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} }$$ $TEX: Aplicamos algebra de limites$ $TEX: $=1\displaystyle\sqrt[n]{1+0 }=1$$ $TEX: $\left( \dfrac{\sqrt[n]{n} }{n} \rightarrow 0 \right)$$ $TEX: (nula por acotada)$ Independiente de que el resultado esté bueno la solucion está mala -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2011, 07:57 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El 2b) se puede hacer si uno recuerda que $TEX: $0\le\sqrt[n]n\le n$$ . -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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