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Examen Cálculo II s2-2010

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 04:20 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1620 - Cálculo II\\<br />Examen - Miércoles 1 de Diciembre de 2010 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sean $a, b, c$ números reales positivos y no nulos. Calcule el volumen de la región de $\mathbb{R}^3$ cuyos puntos $(x, y, z)$ satisfacen la desigualdad<br /><br />\begin{center}$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\le{1}$\end{center}<br /><br />\item Determine, justificadamente, si las series siguientes son o no convergentes:<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item <br />$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\log(1+n^{-2})$$<br />\item <br />$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n{e}^{-n^2}$$<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Encuentre una serie de potencias $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ que verifique:<br /><br />$i) f(0) = 0$\\<br />$ii) f'(0) = 1$\\<br />$iii) f''(x) + xf(x) = 0$ para todo $x$ en su dominio de convergencia.<br /><br />Determine además el radio de convergencia de la serie de potencias.<br /><br />\item Considere la curva plana $\gamma(x) = (x, x^2)$. Demuestre que<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item El centro del círculo osculador en el punto $\gamma(0)$ está en el interior del círculo osculador en el punto $\gamma(1)$.<br />\item El círculo osculador en el punto $\gamma(0)$ está en el interior del círculo osculador en el punto $\gamma(1)$<br />\end{enumerate}<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 04:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 1.- Primero notemos que buscamos el volumen de una elipsoide, entonces:$ $TEX: $V=2\displaystyle\int_{0}^{c}A(z)dz$ con :$ A(z)=\pi L_x L_y$, donde $L_x$ y $L_y$ son las longitudes de los ejes mayor y menor o menor y mayor (dependiendo de a y b) de la elipse que se genera al hacer un corte con un plano paralelo al XY a la elipsoide, luego :$ $TEX: Si $y=0\Rightarrow \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\Rightarrow L_x=a\sqrt{1-\dfrac{z^2}{c^2}}$ analogamente : $L_y=b\sqrt{1-\dfrac{z^2}{c^2}}$$ $TEX: $V=2\displaystyle\int_{0}^{c}\pi ab\sqrt{\left(1-\dfrac{z^2}{c^2}\right)^2}dz=2\pi ab\displaystyle\int_{0}^{c}\left(1-\dfrac{z^2}{c^2}\right)dz=\dfrac{4\pi abc}{3}$$ saludos -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 05:12 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 2.- (b)$ $TEX: Sea $f(x)=xe^{-x^2}$, notemos que : $f$ es continua, $<0\forall x>1$ y $f'(x)=e{-x^2}-2x^2e^{-x^2}<0\forall x>1$, luego por criterio de la integral:$ $TEX: $\displaystyle\underbrace{\int_{1}^{\infty}xe^{-x^2}dx}_{u=x^2}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{\sqrt{n}}e^{-u}du=-\dfrac{1}{2}\lim_{n\to\infty}(e^{-\sqrt{n}}-e^{-1})=\dfrac{1}{2e}$$ $TEX: Luego como la integral converge la serie converge$ Mensaje modificado por walatoo el Dec 21 2010, 05:13 PM -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 05:17 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Para ahorrarte el cálculo notas que el término general está mayorado por $TEX: $ne^{-n},$$ luego a saber que $TEX: $$\sum ne^{-n}<\infty$$$ (criterio de la raíz, es inmediato), la serie dada converge.

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 05:47 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Dec 21 2010, 07:17 PM) Para ahorrarte el cálculo notas que el término general está mayorado por $TEX: $ne^{-n},$$ luego a saber que $TEX: $$\sum ne^{-n}<\infty$$$ (criterio de la raíz, es inmediato), la serie dada converge. XD! tengo una tendencia a irme siempre por lo mas tedioso -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

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