Tercera Fecha Cuarto Nivel

Tercera Fecha Cuarto Nivel, Sede Santiago

Xstrife Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 07:50 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 13-May 06 Desde: Santiago, Maipú Miembro Nº: 1.092 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tercerafechacuartonivel.jpg ( 101.46k ) Número de descargas: 61 Salu2 Mensaje modificado por Rurouni Kenshin el Aug 16 2007, 11:45 AM Archivo(s) Adjunto(s) CMAT_4.pdf ( 35.63k ) Número de descargas: 28

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 09:04 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que debería haber una solución más corta y menos fea Solución al problema 1 $TEX: \noindent Simplemente trabajamos la expresi\'on:<br /><br />$$\dfrac{1}{a^2+b}+\dfrac{1}{b^2+a}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{b+1}$$<br />$$\dfrac{a^2+b^2+a+b}{(a^2+b)(b^2+a)}=\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$$<br />$$\dfrac{a^2+b^2+a+b}{a^2b^2+a^3+b^3+ab}=\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}$$<br />$$\dfrac{a^2+b^2+a+b}{a^2b^2+a^3+b^3+ab}=\dfrac{a^2+b^2+a+b}{a^2b^2+a^2b+b^2a+ab}$$<br />$$a^2b^2+ab+a^3+b^3=a^2b^2+a^2b+b^2a+ab$$<br />$$a^3+b^3=a^2b+b^2a$$<br />$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(ab)$$<br />$$a^2-ab+b^2=ab$$<br />$$a^2-2ab+b^2=0$$<br />$$(a-b)^2=0$$<br />$$a-b=0$$<br />$$\boxed{a=b}$$<br /><br />\noindent Probando lo pedido (no hubo problemas en dividir, ya que los t\'erminos son reales positivos) $\blacksquare$$ Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Hollow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 10:03 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 30-June 07 Desde: America del Sur Miembro Nº: 7.200 Nacionalidad: Sexo:	WOW esto se ve muy cool El saber que un man de 15 años como yo hace eso tan facil, o asi se ve ^^, me hace superarme mas =P Eres to por man A esforzarse mas ^^ Mensaje modificado por Hollow el Jul 1 2007, 10:04 PM

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2007, 03:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El problema dos, es uno de los clásicos. Incluso ya fue preguntado hace dos años en esta misma competencia, pero en el nivel 3º medio. Solo hay un sutil cambio en la manera de plantearlo. Puntos ahora son personas. Lineas azules ahora son la relacion :" se conocen" Lineas rojas ahora son la relación : " no se conocen". Aquí está el link con la solución: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=280 (ultimo post) Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2007, 12:03 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución de Killua para el problema 1, es correcta. De verdad, es un problema simple, en el sentido que uno lo puede resolver, recurriendo apenas a la paciencia, y los trucos usuales de factorización. Este juicio no libera a los participantes, de explicar detalladamente todos los pasos realizados (siendo el más "conflictivo" la división por a+b). No olviden que los correctores del CMAT pueden descontar muchos puntos en estos problemas, y lo mejor es asegurar 10 puntos cada vez que sea posible La hipótesis de ser a,b números positivos, sólo sirve para evitar denominadores nulos y divisiones por 0 Hablo sobre el problema, con la propiedad que siento, de haberlo propuesto. ¿Alguna solución más simple? Yo lo resolví con observar que $TEX: $\dfrac1a-\dfrac1{a+1}=\dfrac1{a+1}$$ , y algo similar ocurre, cambiando a por b. Ahora, continuamos con "aritmética", como ha hecho nuestro colaborador FMAT. Digamos que era una ecuación un poco clásica, pero camuflada en algún sentido Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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