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Nivel M4, VIII Region, un poco mas dificil que las anteriores

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2007, 08:24 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1} \textit{Sean $a,\ b$ numeros reales tales que $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$. Determinar el valor de $$\displaystyle\frac{a^{2007}}{b^{2007}}+\displaystyle\frac{b^{2007}}{a^{2007}}$$.}\\<br />\textbf{Problema 2} \textit{Demostrar la indentidad de Catalan: $$1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{2n-1}-\displaystyle\frac{1}{2n}=\displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{1}{n+2}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{2n}$$}\\<br />\textbf{Problema 3} \textit{Considerar un $\triangle ABC$, rectangulo en C. Sea D un punto en el rayo $\overline{BA}$ exterior al triangulo tal que $\angle ACD=\frac{1}{2}\angle ADC$. Demostrar que $$\displaystyle\frac{1}{AD}=\displaystyle\frac{1}{BD}+\displaystyle\frac{2}{DC}$$}$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2007, 08:49 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tercer_Problema__Tercera_Fecha.PNG ( 7.53k ) Número de descargas: 6 $TEX: \noindent \textbf{Problema 3}\\<br />Sea $\alpha=\angle DCA$, luego por enunciado $\angle CDA=2\alpha$ y por consiguiente $\angle BAC=3\alpha$. Luego tracemos $\overline{AS}$, que tendra una inclinacion de $2\alpha$ con $\overline{AB}$, luego $\angle CAS=\alpha$. Con esto estamos listos a proceder. \\<br />Consideremos el $\triangle CAD$: $$\dfrac{AD}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{\sin 2\alpha}$$<br />A su vez, segun $\triangle ACS$, $$AC=\cos \alpha \cdot AS$$<br />Reemplazando en la primera ecuacion:<br />$$\dfrac{AD}{\sin \alpha}=\dfrac{\cos \alpha \cdot AS}{\sin 2\alpha}$$<br />$$\dfrac{AD}{\sin \alpha}=\dfrac{\cos \alpha \cdot AS}{2\sin \alpha \cos \alpha}$$<br />Simplificando nos queda <br />$$AS=2AD$$<br />Ahora, nos fijamos que $\triangle ASB\sim \triangle DCB$, y estableciendo relaciones de semejanza: $$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{2AD}{DC}$$<br />$$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2BD}{DC}$$<br />$$\dfrac{AB}{AD}+\dfrac{AD}{AD}=\dfrac{2BD}{DC}+1$$<br />$$\dfrac{AB+AD}{AD}=\dfrac{2BD}{DC}+1$$<br />$$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2BD}{DC}+1$$<br />$$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{BD}+\dfrac{2}{DC}$$<br />Demostrando lo pedido.<br />$ Mensaje modificado por GlagosSA el Jun 30 2007, 08:50 PM -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2007, 09:38 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Mi solución al problema 3 es idéntica a la tuya, pero sin trigo Concluiremos que $TEX: $AS=2AD$$ , y lo que sigue es igual. $TEX: \noindent Dibujamos $S\in\overline{BC}$ de modo que $AS//DC$, por lo tanto $\angle{SAB}=2\alpha$ y $\angle{CAS}=\alpha$. Sea $M$ el punto medio de $\overline{AS}$, como $\angle{ACS}=90$ se sigue que $AM=MC=MS$ (propiedad conocida y usada muchas veces en el foro), luego $\angle{CAM}=\angle{ACM}=\alpha$, por lo que, siendo $T=\overleftrightarrow{CM}\cap\overline{BA}$, tenemos que $\angle{TCD}=2\alpha$, por lo que $\triangle{TCD}$ es is\'osceles o sea $TD=TC$. Tambi\'en $\angle{TMA}=\angle{MCA}+\angle{MAC}=2\alpha$ por lo que $\triangle{TAM}$ es is\'osceles, o sea $TA=TM$. As\'i:<br /><br />$$TD-TA=TC-TM$$<br />$$AD=CM$$<br /><br />\noindent Luego $AD=CM\Rightarrow{2AD}=2CM=CM+CM=AM+MS=AS$, as\'i $2AD=AS\ \blacksquare$$ Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2007, 09:40 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{a}<br />{b} + \frac{b}<br />{a} = 2 \hfill \\<br /> \frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{ab}} = 2 \hfill \\<br /> a^2 + b^2 = 2ab \hfill \\<br /> a^2 - 2ab + b^2 = 0 \hfill \\<br /> \left( {a - b} \right)^2 = 0 \Rightarrow a = b \hfill \\<br /> \therefore \frac{{a^{2007} }}<br />{{b^{2007} }} + \frac{{b^{2007} }}<br />{{a^{2007} }} = \frac{{a^{2007} }}<br />{{a^{2007} }} + \frac{{a^{2007} }}<br />{{a^{2007} }} = 1 + 1 = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ --------------------

janzen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2007, 10:03 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 23-April 07 Miembro Nº: 5.414 Nacionalidad: Sexo:	buta el 3 no lo alcance a terminar.... el 2 se hacia por induccion o estoy ekivokao?? si es asi lo pude comprobar pero no demostrar algebraicamente ya ke estaba acostumbrado ke despues del = los terminos no aumentaban

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 02:49 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2 $TEX: Utilizando$ $TEX: inducci\'on:$ $TEX: Para,$ $TEX: $n=1:$$ $TEX: $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ $TEX: (Proposici\'on v\'alida)$ $TEX: Para$ $TEX: $n+1:$$ $TEX: Evaluando$ $TEX: el$ $TEX: 2$ $TEX: miembro$ $TEX: en$ $TEX: $n+1,$$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{n+2}+\displaystyle\frac{1}{n+3}+...+\displaystyle\frac{1}{2n}+\displaystyle\frac{1}{2n+1}+\displaystyle\frac{1}{2n+2}$$ $TEX: Luego,$ $TEX: agregando$ $TEX: los$ $TEX: siguiente$ $TEX: t\'erminos$ $TEX: en$ $TEX: la$ $TEX: sucesi\'on,$ $TEX: $(+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}),$$ $TEX: $1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+...+\displaystyle\frac{1}{2n-1}-\displaystyle\frac{1}{2n}+\displaystyle\frac{1}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2n+2}=\displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{1}{n+2}+...+\displaystyle\frac{1}{2n}+\displaystyle\frac{1}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2n+2}$$ $TEX: Pero,$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{n+2}+...+\displaystyle\frac{1}{2n+1}+\displaystyle\frac{1}{2n+2}=\displaystyle\frac{1}{n+1}+...+\displaystyle\frac{1}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2n+2}$$ $TEX: Finalmente,$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{2(n+1)}=\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{2(n+1)}$$ $TEX: $\therefore$$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{n+1}=\displaystyle\frac{1}{n+1}$$ $TEX: Como$ $TEX: se$ $TEX: cumple$ $TEX: para$ $TEX: $n+1$$ , $TEX: an\'alogamen$ $TEX: se$ $TEX: cumplir\'a$ $TEX: para$ $TEX: $n+2$$ , $TEX: y$ $TEX: as\'i$ $TEX: sucesivamente...$ . De mal, en más mal.... -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 04:47 PM Publicado: #7
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo tambien lo hice por inducción, pero por el otro lado. $TEX: $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}$$<br />Es trivial para $n=1,2,3$ (en enunciado).\\<br />Luego suponemos para un $n=k$ con $k \in N$\\<br />$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots +\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}=\sum_{i=1}^k \frac{1}{k+i}\quad (H.I.)$$<br />y probaremos para $n=k+1$:\\<br />$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots +\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}=\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{k+1+i}$$<br />que en notaci\'on de sumatorias es:\\<br />$$\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{2i-1}-\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{2i}=\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{k+1+i}$$<br />Demostraci\'on.\\<br />Por (H.I.) tenemos:\\<br />\begin{eqnarray}<br />\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{2i-1}-\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{2i}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^k \frac{1}{k+i}\qquad\Big/+\Big(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\Big)\nonumber\\<br />\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{2i-1}-\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{2i}+\Big(-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2k+1}+\dfrac{1}{2k+2}\Big)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{k+1+i}\\<br />\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{2i-1}-\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{2i}+\Big(-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2k+2}\Big)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{k+1+i}\qquad (1)<br />\end{eqnarray}<br />Pero $\dfrac{1}{2k+2}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{k+1-2k-2}{(k+1)(2k+2)}=\dfrac{-(k+1)}{(2k+2)(k+1)}=-\dfrac{1}{2k+2}$ (2).\\<br />Luego reemplazando (2) en (1) se tiene lo pedido:\\<br />$$\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{2i-1}-\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{2i}=\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{k+1+i}$$<br />\\<br />Luego la \textit{Identidad de Catal\'an} es una proposici\'on verdadera en los n naturales.<br />$ PD: transforme a Notación de sumatorias pues de la forma larga no caia en latex. Saludos -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Cesarator	Jul 1 2007, 07:17 PM Publicado: #8
Invitado	El problema de la identidad de Catalán se podía hacer "a mano", sin inducción. De hecho, la solución que se presentó a los profesores es sin inducción. Aunque no tiene nada de malo hacerlo (bien) por inducción, aclaro.

janzen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2007, 03:40 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 23-April 07 Miembro Nº: 5.414 Nacionalidad: Sexo:	podrias poner cual es la forma de hacerlo a mano o por lo menos la idea por fa

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2007, 04:52 PM Publicado: #10
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(janzen @ Jul 2 2007, 03:40 PM) podrias poner cual es la forma de hacerlo a mano o por lo menos la idea por fa Quizas sea cancelar los terminos y darse cuenta que $TEX: $$\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\frac 1n$$$ eso lo ví en la prueba pero encontre mas corto-fácil aplicar induccion y centrarme en el 3 que era el que complicaba. -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

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