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> Certamen 3, Algebra III
Jorgeston
mensaje Jun 28 2007, 01:34 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo


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TEX: \noindent P1 Sea V un e.v. complejo de dimensi\'on $n$ y sea $T:V\to V$ un operador lineal cuyos valores propios son todos nulos.<br /><br />\noindent a) demuestre que $T$ es nilpotente<br /><br />\noindent b) Si $V=\mathbb{R}^{5}$ y $T$ esta definida por $T(a,b,c,d,e)=(7b,0,0,0,2b+4c)$ encuentre la base $B$ de $\mathbb{R}^{5}$ que hace que $[T]_{B}$ est\'e en su forma canonica racional.


****

TEX: \noindent P2 Sea $F:V\to V$ un operador lineal en un espacio $V$ de dimension finita $n$ y sea $m(x)=\displaystyle\prod_{i}^{k}(p_{i}(x))^{r_{i}}$ su polinomio minimal descrito como producto de factores irreductibles.<br /><br />Demuestre que si $v$ es un vector propio de $F$ , entonces existe $i\in \{1,...k\}$ tal que $v\in ker((p_{i}(F))^{r_{i}})$<br />

****


TEX: \noindent P3 Considere un e.v. $V=M_{n}(\mathbb{R})$ y considere el siguiente operador lineal:<br /><br />\noindent $L: M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow M_{n}(\mathbb{R})$<br /><br />\noindent $A\rightarrow L(A)=A+tr(A)I_{n}$<br /><br />\noindent a) Demuestre que el polinomio minimal de $L$ es $m(x)=x^{2}-(n+2)x+n+1$<br /><br />\noindent b) Demuestre que $L$ es diagonalizable.<br /><br />\noindent c) Si $n=3$, encuentre la base de $M_{3}(\mathbb{R})$ que diagonaliza a $L$<br /><br />\noindent d) Si se considera el p.i usual de matrices, $<A,B>=tr(B^{t}A)$, encuentre el operador adjunto de $L$
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Jorgeston
mensaje Jul 8 2007, 11:19 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo


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a)

TEX: \noindent Sea $p(x)$ el polinomio caracteristico de $T$. Por le teorema fundamental del algebra, se tiene que $p(x)=x^{n}$.<br /><br />\noindent Pero $T$ se anula en el polinomio caracteristico (Cayley-hamilton), entonces $p(T)=T^{n}=\Theta$, con lo que se deduce que $T$ es nilpotente.
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Jorgeston
mensaje Jul 8 2007, 11:24 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo


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b)
TEX: <br />\noindent Si se factoriza $m(x)$, se llega a que $m(x)=(x-1)(x-n-1)$. Como $n+1\neq 1$, se tiene que el polinomio minimal es producto de factores lineales distintos, luego $L$ es diagonalizable.

salu2
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Jorgeston
mensaje Jul 8 2007, 11:56 PM
Publicado: #4


Dios Matemático Supremo


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Me daré el lujo de hacer mi post numero 1000 resiolviendo el problema 2 :

TEX: \noindent Si $v$ es vector propio de $F$ , entonces $F(v)=\lambda v$, con $\lambda$ valor propio de $F$. Luego, como el minimal y el caracteristicp tiene las mismas raices, se tiene que $m(\lambda)=\prod (p_{i}(\lambda))^{r_{i}}=0$, por lo que al menos un i-esimo termino del productorio es cero. ( existe i tal que $p_{i}(\lambda)^{r_{i}}=0$) <br /><br />\noindent Tambien se sabe que si $v$ es vector propio, con $\lambda$ el v.p asociado, se tiene que $f(F)(v)=f(\lambda)v$, para cualquier polinomio $f$<br /><br />\noindent luego: $p_{i}(F)^{r_{i}}(v)=p_{i}(\lambda)^{r_{i}}v=0v=\theta$<br /><br /><br />\noindent por lo tanto $v\in ker((p_{i}(F))^{r_{i}}\blacksquare$<br />


Salu2
toke.gif
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