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Examen 2007, Iº semestre

Pily Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2007, 09:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Para mí, no estuvo tan difícil como esperaba. $TEX: $ $ \\<br />$\text{MAT1115 Examen}$ \\<br />$ $ \\<br />1. (a) Calcule la suma de $2n$ t\' erminos \\<br />$$1^2 - 2^2+3^2-4^2\dots $$ \\<br />(b) Demuestre el resultado de la parte (a) usando inducci\' on matematica. \\<br />$ $ \\<br />2. (a) Encuentre el punto de intersecci\' on de las rectas tangentes a la curva $y=x^2$ en los puntos $(x_0,y_0)$, $(-x_0,y_0)$. \\<br />(b) Determinar el valor m\' aximo y m\' inimo del polinomio \\<br />$$y=2x^3-3x^2-12x$$ \\<br />en el intervalo [0,3]. \\<br />$ $ \\<br />3. Sea $f(x)=2\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{x^2-2x+5}$. Determine el dominio de $f$ y calcule $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ \\<br />$ $ \\<br />$ $ \\<br />4. Calcule la derivada de las siguientes funciones: \\<br />(a) $f(x)=\cos (3\sin (x)-2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1})$ \\<br />(b) $f(x)=arctan(\sin ^2(3x+2)-3\cos (5x))$ \\<br />(No es necesario que simplifique sus resultados) \\<br />$ $ \\<br />5. (a) Enuncie el Teorema del Valor Intermedio \\<br />(b) Enuncie el Teorema del Valor Medio \\<br />© Enuncie el Teorema de Taylor.$ --------------------

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2007, 12:21 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pily te pasaste!!! Aunque no tengo el mismo calculo me servira para estudiar Gracias!!!!!!!!!

Pily Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2007, 01:46 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(EnnaFrad @ Jun 28 2007, 01:21 PM) Pily te pasaste!!! Aunque no tengo el mismo calculo me servira para estudiar Gracias!!!!!!!!! [jugo] En too caso xD, los Maples (para nosotros) eran bien raros, casi na' que ver con lo que estábamos viendo xD[/jugo] La idea igual es que se vaya resolviendo, así se aclaran las dudas que se puedan tener. Igual no estaba difícil. Parto yo con el 1: Parte a: Escribiendo de manera conveniente la suma (ordenando): $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1^2 + 3^2 + 5^2 \ldots - (2^2 + 4^2 + 6^2 \ldots ) \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{n} {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^{n} {(2k)^2 } \hfill \\<br /> \Rightarrow 4\sum\limits_{k = 1}^{n} {k^2 } - 4\sum\limits_{k = 1}^{n} {k + \sum\limits_{k = 1}^{n} 1 } - 4\sum\limits_{k = 1}^{n} {k^2 } \hfill \\<br /> \Rightarrow - 4\sum\limits_{k = 1}^{n} {k + \sum\limits_{k = 1}^{n} 1 } \hfill \\<br /> \Rightarrow n - \frac{{4\cdot n(n + 1)}}<br />{2} \hfill \\<br /> \Rightarrow n - 2n(n + 1) \hfill \\<br /> \Rightarrow n - 2n^2 - 2n \hfill \\<br /> \Rightarrow - 2n^2 - n \hfill \\<br />\end{gathered}<br />\]<br />$ Parte b: Por inducción... (i) Caso base, $TEX: $n=1$$ : $TEX: \[<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^2 {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^2 {(2k)^2 } = 1^2 + 3^2 - \left( {2^2 + 4^2 } \right) = 10 - 20 = - 10<br />\]$ Por otro lado: $TEX: \[<br />- 8 \cdot (1)^2 - 2 \cdot 1 = - 10<br />\]$ (ii) Supongamos que se cumple $TEX: \[<br />\sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k)^2 } = - 8n^2 - 2 \cdot n<br />\]$ , $TEX: \[<br />\forall n \in \mathbb{N}<br />\]$ PDQ: $TEX: \[<br />\sum\limits_{k = 1}^{2(n + 1)} {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^{2(n + 1)} {(2k)^2 } = - 8(n + 1)^2 - 2(n + 1)<br />\]$ Ya, tomando el lado izquierdo: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{2n + 2} {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^{2n + 2} {(2k)^2 } = - 8(n + 1)^2 - 2(n + 1) \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k - 1)^2 } + (2(2n + 1) - 1)^2 + (2(2n + 2) - 1)^2 - \left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k)^2 } + (2(2n + 1))^2 + (2(2n + 2))^2 } \right){\text{ }} \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k - 1)^2 } + (4n + 1)^2 + (4n + 3)^2 - \left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k)^2 } + (4n + 2)^2 + (4n + 4)^2 } \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow \underbrace {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k - 1)^2 } - \sum\limits_{k = 1}^{2n} {(2k)^2 } }_{ - 8n^2 - 2n} + (4n + 1)^2 + (4n + 3)^2 - (4n + 2)^2 - (4n + 4)^2 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow - 8n^2 - 2n + 8n + 1 + 24n + 9 - 16n - 4 - 32n - 16 \hfill \\<br /> \Rightarrow - 8n^2 - 18n - 10 \hfill \\<br /> \Rightarrow - 8n^2 - 16n - 8 - 2n - 2 \hfill \\<br /> \Rightarrow - 8(n^2 + 2n + 1) - 2(n + 1) \hfill \\<br /> \Rightarrow - 8(n + 1)^2 - 2(n + 1) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Luego es válido para $TEX: $\forall \text{ }n\text{ }\in \mathbb{N}$$ Creo que no me equivoqué en algo... PD: Parte A EDITADA Mensaje modificado por Pily el Jan 6 2008, 01:35 PM --------------------

Natita Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2007, 06:30 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 24 Registrado: 14-June 05 Desde: Aquí... Miembro Nº: 106 Nacionalidad: Sexo:	Wuaaa ellaaaa.. la diosa del taylor xD Igual la usaré para estudiar! tengo prueba la otra semana y control por la mañanita xD Gracias por tu aporte Filar. Celebraremos apenas pase Quimica. =) Bye --------------------

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2007, 01:58 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 2. (a) \\<br />$ $ \\<br />Sabemos que la ecuación de la recta tangente a una curva ${f(x)}$ en el punto $(x_0,y_0)$ es: \\<br />$${y-y_0 = {\dfrac{d f(x)}{dx}}{(x-x_0)}}$$ \\<br />$ $ \\<br />Como ${f(x)=x^2}$, la ${\dfrac{d f(x)}{dx} = 2x}$ \\<br />$ $ \\<br />Los puntos son ${(x_0,y_0), (-x_0,y_0)}$, por lo tanto las rectas tangentes ser\'ian: \\<br />$ $ \\<br />(1) ${y-y_0={2x}{x-x_0}}$ \\<br /> ${y=2x^2-{2x}{x_0}+y_0}$ \\<br />$ $ \\<br />(2) ${y-y_0={2x}{x+x_0}}$ \\<br /> ${y=2x^2+{2x}{x_0}+y_0}$ \\<br />$ $ \\<br />Ahora sacamos el punto de intersecci\'on que esta dado por: \\<br />${-2x{x_0} = 2x{x_0}}$ \\<br />${-2x = 2x}$ \\<br />$ $ \\<br />El \' unico punto para el que se cumple esa desigualdad es ${x = 0}$, por lo tanto el punto de intersecci\'on de las rectas tangentes es: ${(0,y_0)}$ \\<br />$

Pily Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2007, 04:47 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Primero derivamos el polinomio:}} \hfill \\<br /> y = 2x^3 - 3x^2 - 12x \Rightarrow y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) \Rightarrow y' = 6(x + 1)(x - 2) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Recordemos que los candidatos a máximos y mínimos son los puntos en los que $TEX: $y'=0$$ , cuando y' se indetermina y/o los extremos del intervalo. Por lo tanto $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> (i){\text{ }}y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 1 \hfill \\<br /> (ii){\text{ No hay punto de indefinici\'o n de }}y' \hfill \\<br /> (iii){\text{ Extremos del intervalo: }}x = 0,{\text{ }}x = 3 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Pero }} - 1 \notin [0,3],{\text{ luego evaluamos el polinomio s\'o lo en }}x = 2,x = 0,{\text{ }}x = 3: \hfill \\<br /> y(0) = 0 \hfill \\<br /> y(2) = 16 - 12 - 24 = - 20 \hfill \\<br /> y(3) = 54 - 27 - 36 = - 9 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ De esto se concluye que el valor mínimo se alcanza en $TEX: $x=2$$ y es $TEX: $-20$$ , mientras que el valor máximo se alcanza en $TEX: $x=0$$ y es $TEX: 0$ . --------------------

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2007, 09:48 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $3.$$ $TEX: $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(-x)}{-x}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{2\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{x^2+2x+5}}{-x}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{2\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{x^2+2x+5}}{-x}.\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$ $TEX: $=\displaystyle\lim_{x\to \infty}-\left(2\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}-\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}\right)$$ $TEX: Aplicamos algebra de Limites$ $TEX: $=-(2\sqrt{1-0+0}-\sqrt{1+0+0})$$ $TEX: $=-1$$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 6 2007, 09:53 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2007, 10:19 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 3. Encontremos el Dominio de f$ $TEX: Para que la funcion este bien definida, deben cumplirse las siguientes dos desigualdades:$ $TEX: $a) x^2+5x+6\ge 0$$ $TEX: $(x+3)(x+2)\ge 0$$ $TEX: $a>0 \Longrightarrow x \in (-\infty ,-3]\bigcup [-2,+\infty )$$ $TEX: $b) x^2-2x+5\ge 0$$ $TEX: $\Delta<0 \wedge a>0 \Longrightarrow x\in \mathbb{R} $$ $TEX: Intersectando ambas soluciones tenemos que$ $TEX: $\text{Dom}(f)=(-\infty ,-3]\bigcup [-2,+\infty )$$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 7 2007, 01:18 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 01:34 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: P4$ $TEX: $a) f(x)=\cos(3\mathrm{sen}(x)-2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1})$$ $TEX: $f'(x)=- \mathrm{sen}(3\mathrm{sen}(x) -2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1}) ((3 \mathrm{sen}(x))'-(2\cos ^2(x))'+(\sqrt{x^2+x+1})')$$ $TEX: $f'(x)=-\mathrm{sen}(3\mathrm{sen}(x)-2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1})\left(3\cos(x)-4\cos(x)(\cos(x))'+\dfrac{(x^2+x+1)'}{2\sqrt{x^2+x+1}}\right)$$ $TEX: $f'(x)=-\mathrm{sen}(3\mathrm{sen}(x)-2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1})\left(3\cos(x)+4\cos(x)\mathrm{sen}(x)+\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\right)$$ $TEX: $f'(x)=-\mathrm{sen}(3\mathrm{sen}(x)-2\cos ^2(x)+\sqrt{x^2+x+1})\left(3\cos(x)+2\mathrm{sen}(2x) +\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\right)$$ Mensaje modificado por beethoven el Jul 7 2007, 01:45 PM

beethoven Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 02:04 PM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 28-April 07 Miembro Nº: 5.504 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: P4$ $TEX: $b)f(x)=\mathrm{arctan}(\mathrm{sen} ^2(3x+2) - 3\cos(5x))$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{1}{1+(\mathrm{sen} ^2(3x+2) -3\cos(5x))^2}(\mathrm{sen} ^2(3x+2) - 3\cos(5x))'$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{2\mathrm{sen}(3x+2)(\mathrm{sen}(3x+2))'+3\mathrm{sen}(5x)(5x)'}{1+(\mathrm{sen} ^2(3x+2) -3\cos(5x))^2}$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{2\mathrm{sen}(3x+2)\cos(3x+2)(3x+2)'+15\mathrm{sen}(5x)}{1+(\mathrm{sen} ^2(3x+2) -3\cos(5x))^2}$$ $TEX: $f'(x)=\dfrac{6\mathrm{sen}(3x+2)\cos(3x+2)+15\mathrm{sen}(5x)}{1+(\mathrm{sen} ^2(3x+2) -3\cos(5x))^2}$$

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