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XVIII OMCS (2007), Uruguay

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2007, 09:20 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y aquí tenemos la Olimpiada Cono Sur de este año. Están invitados a postear sus soluciones y a comentar como le fue al equipo chileno 18ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Atlántida, Uruguay, 2007 Primera Prueba: Jueves 14 de junio de 2007 Problema 1: Encuentre todos los pares de enteros $TEX: $(x, y)$$ que cumplen: $TEX: $x^3y+x+y=xy+2xy^2$$ Problema 2: Se tienen $TEX: $100$$ enteros positivos tales que su suma es igual a su producto. Determine la mínima cantidad de números $TEX: $1$$ que hay entre los $TEX: $100$$ enteros. Problema 3: Sea $TEX: $ABC$$ un triángulo acutángulo, de alturas $TEX: $AD, BE$$ y $TEX: $CF$$ (con $TEX: $D$$ en $TEX: $BC$$ , $TEX: $E$$ en $TEX: $AC$$ y $TEX: $F$$ en $TEX: $AB$$ ). Sea $TEX: $M$$ el punto medio del segmento $TEX: $BC$$ . La circunferencia circunscrita al $TEX: $\triangle{AEF}$$ corta a la recta $TEX: $AM$$ en $TEX: $A$$ y en $TEX: $X$$ . La recta $TEX: $AM$$ corta a la recta $TEX: $CF$$ en $TEX: $Y$$ . Sea $TEX: $Z$$ el punto de corte de las rectas $TEX: $AD$$ y $TEX: $BX$$ . Pruebe que $TEX: $\overleftrightarrow{YZ}//\overleftrightarrow{BC}$$ . Segunda Prueba: Viernes 15 de junio de 2007 Problema 4: Se considera un tablero de $TEX: $2007\times{2007}$$ . Se pintan algunas casillas del tablero. Se dice que el tablero es charrúa si ninguna fila está totalmente pintada y ninguna columna está totalmente pintada. $TEX: $(a)$$ ¿Cuál es el máximo número $TEX: $k$$ de casillas pintadas que puede tener un tablero charrúa? $TEX: $(b)$$ Para dicho número $TEX: $k$$ , calcular el número de tableros charrúas distintos que existen. Problema 5: Sea $TEX: $ABCDE$$ un pentágono convexo que cumple las siguientes condiciones: • Existe una circunferencia $TEX: $\Omega$$ tangente a cada uno de sus lados. • Las longitudes de todos sus lados son números enteros. • Por lo menos uno de los lados del pentágono mide $TEX: $1$$ . • El lado $TEX: $AB$$ mide $TEX: $2$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto de tangencia de $TEX: $\Omega$$ con el lado $TEX: $AB$$ . $TEX: $(a)$$ Determine las longitudes de los segmentos $TEX: $AP$$ y $TEX: $BP$$ . $TEX: $(b)$$ Dé un ejemplo de un pentágono que cumpla las condiciones establecidas. Problema 6: Demuestre que, para cada entero positivo $TEX: $n$$ , existe un entero positivo $TEX: $k$$ tal que la representación decimal de cada uno de los números $TEX: $k, 2k, \ldots , nk$$ contiene todos los dígitos $TEX: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$ . Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Killua. Problema 2: Aquí, resuelto por Claudio Espinoza. Problema 3: Aquí, resuelto por Killua. Problema 4: Aquí, resuelto por XaPi. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2007, 01:26 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 21 2007, 10:20 PM) Problema 4: Se considera un tablero de $TEX: $2007\times{2007}$$ . Se pintan algunas casillas del tablero. Se dice que el tablero es charrúa si ninguna fila está totalmente pintada y ninguna columna está totalmente pintada. $TEX: $(a)$$ ¿Cuál es el máximo número $TEX: $k$$ de casillas pintadas que puede tener un tablero charrúa? $TEX: $(b)$$ Para dicho número $TEX: $k$$ , calcular el número de tableros charrúas distintos que existen. a) Es facil ver que el numero maximo de casilleros pintados debe ser $TEX: $2006\times 2007$$ . Puesto que en ese caso, es posible dejar un casillero sin pintar en cada columna (o en cada fila, depende de como se quiera ver), por ejemplo, dejando la casilla i de la columna (o fila) i sin pintar (para i=1..2007). Pero si agregamos una casilla mas pintada, obtenemos al menos una fila (o columna) pintada, y por lo tanto no puede ser un tablero "charrua". Ahora, tampoco puede ocurrir que una columna (o fila) tuviese al menos 2 casillas sin pintar, porque en ese caso, tendriamos que seguir pintando un tablero de $TEX: $2007 \times 2006$ (si fuese una columna con 2 casillas sin pintar) o $2006\times 2007$ (en el otro caso)$ casillas, de las cuales tenemos que pintar, al menos, $TEX: $2006\times 2006 + 1$$ casillas. Por el Principio del Palomar se concluye que existe al menos una columna (o fila) con todas sus casillas pintadas, y nuevamente no seria un tablero "charrua". Por lo tanto $TEX: $k= 2006\times 2007$$ . b) Debemos pintar k casillas. La primera columna (o fila) tiene 2007 posibilidades de tener una casilla en blanco. Para la segunda, existen 2006 posibles casillas a pintar, (pues la posicion elegida para ficha en blanco anterior no puede ser repetida, por lo expuesto en la parte a) ) . Se concluye entonces, que la cantidad de posibles tableros charruas es $TEX: $n= 2007!$$ Saludos -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2007, 07:28 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 1 $TEX: \noindent Tenemos que $x^3y+x+y=xy+2xy^2$, o sea:<br /><br />$$x^3y+x+y\equiv{xy+2xy^2}\ (mod.\ x)\Rightarrow{y}\equiv{0}\ (mod.\ x)$$<br /><br />\noindent Tambi\'en<br /><br />$$x^3y+x+y\equiv{xy+2xy^2}\ (mod.\ y)\Rightarrow{x}\equiv{0}\ (mod.\ y)$$<br /><br />\noindent de donde $\|x\|=\|y\|\Rightarrow{x=y}\vee{x=-y}$.$ Caso 1, $TEX: $x=y$$ $TEX: \noindent Vemos que $x=0$ es una soluci\'on, luego $\boxed{(x, y)=(0, 0)}$ es una soluci\'on. Ahora, sea $x\neq{0}$, tenemos:<br /><br />$$x^4+2x=x^2+2x^3$$<br />$$x^3+2=x+2x^2$$<br />$$x^3-2x^2-x+2=0$$<br />$$(x^2-1)(x-2)=0$$<br /><br />\noindent de donde $x_1=2, x_2=1, x_3=-1$, lo que nos entrega las soluciones $\boxed{(x, y)=(2, 2); (1, 1); (-1, -1)}$$ Caso 2, $TEX: $x=-y$$ $TEX: \noindent Vemos que $x=0$ nos entrega la soluci\'on $(x, y)=(0, 0)$. Sea $x\neq{0}$, tenemos:<br /><br />$$-x^4+x-x=-x^2+2x^3$$<br />$$-x^4=-x^2+2x^3$$<br />$$-x^2=-1+2x$$<br />$$x^2+2x-1=0$$<br />$$x^2+2x+1=2$$<br />$$(x+1)^2=2$$<br /><br />\noindent de donde no obtenemos soluciones enteras. Luego, todos los pares de enteros $(x, y)$ que satisfacen la ecuaci\'on son:<br /><br />$$\boxed{(x, y)=(2, 2); (1, 1); (0, 0); (-1, -1)}$$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2007, 09:50 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 3 Lema: Sea $TEX: $ABC$$ un triángulo rectángulo en $TEX: $C$$ , y $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $AB$$ . Entonces $TEX: $AM=MB=MC$$ . Demostración: $TEX: \noindent Por $M$ trazamos una perpendicular a $AB$ que corta al lado $BC$ en $N$; luego $CNMA$ es c\'iclico ($\angle{ACN}+\angle{AMN}=180$), luego $\angle{NAM}=\angle{NCM}=\alpha$. Notemos que $\triangle{NMA}\cong\triangle{NMB}$ por $LAL$, luego $\angle{NAM}=\angle{NBM}=\alpha$. Entonces $\angle{NCM}=\angle{NBM}=\alpha$, luego $CM=MB=MA$, probando el lema $\square$$ $TEX: \noindent Sea $H$ el ortocentro del $\triangle{ABC}$. Notemos que $AFHE$ es c\'iclico de di\'ametro $AH$ ($\angle{AFH}+\angle{AEH}=90$), luego, como $X$ est\'a en el circunc\'irculo de $AFE$, tendremos que $\angle{AXH}=90$. Luego $AFHX$ es c\'iclico ($\angle{AFH}+\angle{AXH}=180$), as\'i $\angle{AXF}=\angle{AHF}=\alpha$. Como $FHDB$ tambi\'en es c\'iclico ($\angle{HFB}+\angle{HDB}=180$), se sigue que $\angle{FBD}=\angle{AHF}=\alpha$, as\'i $\angle{FBM}=\angle{FXA}=\alpha$, o sea $FXMB$ es c\'iclico.\\<br /><br />\noindent Por el lema $MB=MF\Rightarrow{\angle{MBF}}=\angle{MFB}=\alpha$, y como $FXMB$ es c\'iclico, se tiene que $\angle{BFM}=\angle{BXM}=\angle{ZXY}=\alpha$. Por opuestos por el v\'ertice $\angle{FHA}=\angle{ZHY}=\alpha$, luego $ZHXY$ es c\'iclico ($\angle{ZHY}=\angle{ZXY}=\alpha$), as\'i $\angle{HZY}=\angle{HXA}=90$, luego $\angle{HZY}=\angle{HDM}=90$, o sea $\overleftrightarrow{ZY}//\overleftrightarrow{BC}$, probando as\'i lo pedido $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2007, 08:00 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(XaPi @ Jun 22 2007, 02:26 AM) a) Es facil ver que el numero maximo de casilleros pintados debe ser $TEX: $2006\times 2007$$ . Puesto que en ese caso, es posible dejar un casillero sin pintar en cada columna (o en cada fila, depende de como se quiera ver), por ejemplo, dejando la casilla i de la columna (o fila) i sin pintar (para i=1..2007). Pero si agregamos una casilla mas pintada, obtenemos al menos una fila (o columna) pintada, y por lo tanto no puede ser un tablero "charrua". Ahora, tampoco puede ocurrir que una columna (o fila) tuviese al menos 2 casillas sin pintar, porque en ese caso, tendriamos que seguir pintando un tablero de $TEX: $2007 \times 2006$ (si fuese una columna con 2 casillas sin pintar) o $2006\times 2007$ (en el otro caso)$ casillas, de las cuales tenemos que pintar, al menos, $TEX: $2006\times 2006 + 1$$ casillas. Por el Principio del Palomar se concluye que existe al menos una columna (o fila) con todas sus casillas pintadas, y nuevamente no seria un tablero "charrua". Por lo tanto $TEX: $k= 2006\times 2007$$ . b) Debemos pintar k casillas. La primera columna (o fila) tiene 2007 posibilidades de tener una casilla en blanco. Para la segunda, existen 2006 posibles casillas a pintar, (pues la posicion elegida para ficha en blanco anterior no puede ser repetida, por lo expuesto en la parte a) ) . Se concluye entonces, que la cantidad de posibles tableros charruas es $TEX: $n= 2007!$$ Saludos Solución correcta, aunque la redacción está un poco enredada, se entiende la idea y es correcto. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Claudio Espinoza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2008, 06:50 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 22-October 06 Desde: SJL - Lima Miembro Nº: 2.613 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 21 2007, 10:20 PM) Problema 2: Se tienen $TEX: $100$$ enteros positivos tales que su suma es igual a su producto. Determine la mínima cantidad de números $TEX: $1$$ que hay entre los $TEX: $100$$ enteros. Como comentario de este problema podria decir que el jurado estuvo considerandolo como problema 3, siempre y cuando se le incrementase un poco su dificultad, una propuesta fue cambiar el 100 por 2007, pero la solucion no era nada elemental. Así que quedo con 100 y como problema 2. Solución: La idea es hallar el máximo número $TEX: $r$$ tal que la ecuación $TEX: $x_1+\ldots+x_r+ 100-r=x_1x_2\ldots x_r$$ tenga solución con $TEX: $x_i>1$$ , para $TEX: $1\le i \le r$$ . Asumamos $TEX: $x_1\ge x_2 \ge\ldots\ge x_r$$ . Ahora es claro que $TEX: $x_1x_2\ldots x_r\ge 2^{r-1}x_1$$ , entonces $TEX: $2^{r-1}x_1\le x_1+\ldots+x_r+ 100-r\le rx_1+100-r$$ , entonces $TEX: $x_1\le \frac{100-r}{2^{r-1}-r}$$ , entonces $TEX: $2^r-2r\le 100-r$$ , lo que es lo mismo $TEX: $2^r-r\le 100$, luego $r\le 6$$ . Veamos que no puede ocurrir $TEX: $r=6$$ . Si $TEX: $r=6$$ , entonces $TEX: $x_1\le \frac{94}{26}<4$$ . Luego $TEX: $2\le x_6\le x_5\ldots x_1\le 3$$ . Aquí sólo hay 7 posibilades para esos números, luego de verficar que niguna de ellas cumple pasamos a ver el ejemplo con $TEX: $r=5$$ : 3+3+3+2+2+95=27.4=108. Luego el mayor valor de r es 5, entonces la menor cantidad de unos es 95.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2008, 06:21 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Claudio Espinoza @ Jan 16 2008, 09:46 PM) Como comentario de este problema podria decir que el jurado estuvo considerandolo como problema 3, siempre y cuando se le incrementase un poco su dificultad, una propuesta fue cambiar el 100 por 2007, pero la solucion no era nada elemental. Así que quedo con 100 y como problema 2. Solución: La idea es hallar el máximo número $TEX: $r$$ tal que la ecuación $TEX: $x_1+\ldots+x_r+ 100-r=x_1x_2\ldots x_r$$ tenga solución con $TEX: $x_i>1$$ , para $TEX: $1\le i \le r$$ . Asumamos $TEX: $x_1\ge x_2 \ge\ldots\ge x_r$$ . Ahora es claro que $TEX: $x_1x_2\ldots x_r\ge 2^{r-1}x_1$$ , entonces $TEX: $2^{r-1}x_1\le x_1+\ldots+x_r+ 100-r\le rx_1+100-r$$ , entonces $TEX: $x_1\le \frac{100-r}{2^{r-1}-r}$$ , entonces $TEX: $2^r-2r\le 100-r$$ , lo que es lo mismo $TEX: $2^r-r\le 100$, luego $r\le 6$$ . Veamos que no puede ocurrir $TEX: $r=6$$ . Si $TEX: $r=6$$ , entonces $TEX: $x_1\le \frac{94}{26}<4$$ . Luego $TEX: $2\le x_6\le x_5\ldots x_1\le 3$$ . Aquí sólo hay 7 posibilades para esos números, luego de verficar que niguna de ellas cumple pasamos a ver el ejemplo con $TEX: $r=5$$ : 3+3+3+2+2+95=27.4=108. Luego el mayor valor de r es 5, entonces la menor cantidad de unos es 95. Solución correcta Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2013, 05:52 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	les debo imágen saludos Problema 3: Sea H el ortocentro del triángulo ABC, tracemos FM, FH, HX y FX y notemos que FM=BM=MC ya que M es circuncentro del triángulo rectángulo FBC. Veamos que BDHF y DMXH son cíclicos, y notemos que AD es eje radical de las circunferencias de esos cuadriláteros, con A su centro radical, de donde por potencia de punto concluimos que AF·AB=AX·AM de donde FBMX es cíclico, luego tenemos que $TEX: $\angle BXM=\angle MFB=\angle FBM=\angle ZHY$$ luego HXYZ es cíclico y como $TEX: $\angle AXH$$ es recto, lo es también $TEX: $\angle HZY$$ , de donde se tiene el paralelismo pedido $TEX: $\blacksquare $$ Mensaje modificado por MatíasMoreno el Sep 5 2013, 06:07 PM -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

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