Propiedad de la bisectriz exterior

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Propiedad de la bisectriz exterior

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「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2007, 10:56 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	exkb5.png ( 16.38k ) Número de descargas: 66 $TEX: Consideremos un $\triangle ABC$. Se traza $\overline {BN} = \overline {BC}$. Se prolonga tanto la bisectriz exterior del $\measuredangle {\text{ }}CBN$, como el lado $\overline {AC}$ del tri\'angulo hasta determinar el punto $M$. Se traza la bisectriz del $\measuredangle {\text{ }}ABC$ y a continuaci\'on se baja la perpendicular $\overline {CQ}$ sobre dicha bisectriz.\\<br />\\<br />$\underline {{\text{Tesis}}} {\text{: }}\dfrac{{\overline {AM} }}{{CM}} = \dfrac{{\overline {AB} }}{{\overline {BC} }}$$ Demostración: $TEX: N\'otese que $\alpha + \alpha + \beta + \beta = 180^\circ \Leftrightarrow 2(\alpha + \beta )= 180^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta = 90^\circ$. Por otra parte $\measuredangle {\text{ }}C = \measuredangle {\text{ }}N$ ($\triangle CBN$ is\'osceles, por construcci\'on), luego se puede inferir que $\overline {BM} \perp \overline {CN}$, y en consecuencia $\overline {CQ} \parallel \overline {BM}$. No obstante, el $\measuredangle {\text{ }}QCN = 90^\circ$, por consiguiente $B$ es circuncentro del $\triangle CQN$, y luego $\overline {BC} = \overline {BQ}$ (radios).\\<br />\\<br />\noindent Finalmente, a trav\'es del teorema de Thales, podemos establecer que:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AM} }}<br />{{CM}} &= \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BQ} }} \\ <br /> \frac{{\overline {AM} }}<br />{{CM}} &= \frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BC} }}\qquad{\text{ \{}}\overline {BQ} = \overline {BC} {\text{, demostrado\} }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$

MatíasFSM Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2011, 04:19 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 720 Registrado: 22-March 11 Desde: Ancuud Miembro Nº: 85.438 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No entiendo como se infiere que BM perpendicular con CN Por cierto: aportazo! Mensaje modificado por Jefexsil el Nov 30 2011, 04:20 PM -------------------- ________________________________________ no uso calcetines

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2011, 04:27 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahí dice que el triángulo es isósceles por construcción, entonces, $TEX: $\angle{CBA}=2 \alpha$$ es exterior del triángulo $TEX: $\triangle{CBN}$$ , luego llama $TEX: $x$$ a sus ángulos basales. Luego $TEX: $x+x=2 \alpha$$ , entonces $TEX: $x= \alpha$$ , entonces como tienes que $TEX: $\alpha + \beta = 90°$$ puede inferior que aquellos segmentos son perpendiculares -------------------- Me voy, me jui.

MatíasFSM Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2011, 04:49 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 720 Registrado: 22-March 11 Desde: Ancuud Miembro Nº: 85.438 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ Nov 30 2011, 01:27 PM) Ahí dice que el triángulo es isósceles por construcción, entonces, $TEX: $\angle{CBA}=2 \alpha$$ es exterior del triángulo $TEX: $\triangle{CBN}$$ , luego llama $TEX: $x$$ a sus ángulos basales. Luego $TEX: $x+x=2 \alpha$$ , entonces $TEX: $x= \alpha$$ , entonces como tienes que $TEX: $\alpha + \beta = 90°$$ puede inferior que aquellos segmentos son perpendiculares aaaaa vdd, se me fue fijarme bien en el isosceles jeje gracias geek! -------------------- ________________________________________ no uso calcetines

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2011, 07:54 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Acabo de leer mi post y noté que mi redacción fue pésima. Lo siento, es que lo escribí mientras estudiaba, que bueno que te haya quedado clara la idea. -------------------- Me voy, me jui.

Francisco mm Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2011, 11:35 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 915 Registrado: 1-February 11 Miembro Nº: 83.587 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jaja wena zorro --------------------

Dariol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2012, 04:15 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 68 Registrado: 28-January 12 Miembro Nº: 100.690 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Excelente y útil

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