P007, Resuelto por Dana Opciones

[Rurouni Kenshin]

Pregunta 7

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[Dana]

a,b,c < 6 porque 7!,8!,9! > 1000, y si algún dígito toma el valor 6, como 6! = 720, alguno de los otros dígitos deberá valer 7 o más.

a,b,c vale 1,2,3,4 o 5
Algún dígito deberá valer 5, porque la suma de los factoriales de los otros cuatro dígitos es menor que 100 (1!+2!+3!+4! = 33 < 100)

Qué ocurre si más de un dígito vale 5? abc = 5! + 5! + x! = 240 + x!
Si a vale 4 o 5 entonces abc > 455 y 455 < 3 * 5!. a no puede valer ni 4 ni 5.
Si a vale 3, 355 != 6 + 120 + 120 = 246
Si a vale 2, 255 != 2 + 120 + 120 = 242
Tampoco puede valer 1 porque 155 < 1 + 120 + 120

Como sólo un dígito debe valer 5, y la máxima suma de 3 factoriales que podemos formar será 5!+4!+4! = 168, a deberá valer 1, y b o c 5. Así las únicas posibilidades son:

1b5 = 1! + b! + 5! = 1 + c! + 120 = 121 + b! Como debe terminar en 5, b! debe terminar en 4, por lo tanto b = 4
145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

15c = 1! + 5! + c! = 1 + 120 + c! = 121 + c!
15c = 121 + c! < 156 => c! < 35
15c = 121 + c! > 150 => c! > 29
No hay ningún c tal que 29 < c! < 35

El único número es 145

[Gp20]

Respuesta correcta. Se pasa a resueltos.