I2 teoría de la integración, 2016-2

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I2 teoría de la integración, 2016-2

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nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2016, 03:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /> \begin{enumerate}<br /> \item \textbf{Ejercicio. }Sea $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de funciones positivas, acotadas y medibles sobre el espacio $(\mathbb{R},\overline{\mathcal{B}(\mathbb{R})},\lambda)$, tal que el soporte de cada función $\varphi_n$ esté contenido en $[0,1/n]$ y además $\int_\mathbb{R}\varphi_n d\lambda=1$.\\<br /> \\<br /> Probar que si $f$ es integrable sobre $(\mathbb{R},\overline{\mathcal{B}(\mathbb{R})},\lambda)$, entonces $\int_\mathbb{R}\|f\star\varphi_n(x)-f(x)\|dx\to 0$ si $n\to\infty$, donde $\star$ designa el producto de convolución:<br /> $$f\star\varphi_n(x)=\int_\mathbb{R}f(x-y)\varphi_n(y)dy. $$<br /> Dar un ejemplo simple de funciones $\varphi_n$, ($n\in\mathbb{N}$).<br /> <br /> <br /> <br /> \item \textbf{Ejercicio. }Probar que la función definida sobre $]0,\infty[$ por<br /> $$f(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}dt $$<br /> es derivable y que es solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolviendo esta ecuación, probar que<br /> $$f(x)=\frac{\pi}{2}\ e^x(1-g(\sqrt{x})),$$<br /> donde $g$ es la función error definida por<br /> $$g(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-v^2}dv. $$<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> \item\textbf{Problema.}<br /> <br /> \begin{enumerate}<br /> \item Sea $\psi$ una función continua creciente sobre el intervalo compacto $[a,b]$. Probar que<br /> $$\int_{[a,b]}f\circ\psi(s)d\psi(s)=\int_{[\psi(a),\psi(b)]}f(t)dt,$$<br /> para toda función boreliana positiva $f$, donde $d\psi$ es la notación abreviada para la medida de Stieltjes-Lebesgue generada por $\psi$.<br /> <br /> <br /> \item Definir $\psi(s)$ para $s\in\mathbb{R}$ como el único $t\in ]0,\infty[$ que satisface $s=\alpha t^{1/2}-\beta t^{-1/2}$ y demostrar que<br /> $$\int_0^\infty t^{-1/2}\exp\left(-\alpha^2t-\frac{\beta^2}{t}\right)dt=\frac{e^{-2\alpha\beta}}{\alpha}\int_\mathbb{R}e^{-s^2}ds. $$<br /> Luego use cualquiera de los métodos vistos en clase para obtener la integral del miembro derecho, completando el cálculo de la integral del miembro izquierdo.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /><br /> <br /> \end{enumerate}<br /> <br />$ Mensaje modificado por nacharon el Oct 22 2016, 04:03 PM