VI JIM Sede Valparaíso 2015, Realizada por la UTFSM Opciones

[Tobal.alb]

VI Jornada Interescolar de Matemáticas

Primera prueba
Jueves 22 de Octubre de 2015

Problema 1. Demuestre que para todo entero positivo se cumple que:

Problema 2.
(a) Considere un triángulo cuyos vértices se encuentran en los vértices de un papel cuadriculado¹. Demuestre que el doble del área de este triángulo es un número entero.

(b) Demuestre que no existe un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren en los vértices de este papel.

Problema 3. Encontrar todos lo enteros positivos con tales que

Problema 4. Una tableta de chocolate contiene trozos. Se rompe la tableta para obtener pedazos más pequeños, después se sigue con uno de los pedazos y así sucesivamente.
Entonces, ¿cuántas veces hay que romper los pedazos hasta llegar a los trozos individuales?. Compruebe que no hay manera de llegar a trozos individuales en un número menor de pasos.

¹ Llamaremos vértices de un papel cuadriculado a los vértices de los cuadrados pertenecientes al papel cuadriculado.

Segunda prueba
Viernes 21 de Octubre de 2015

Problema 5. Consideremos una sucesión infinita con y enteros, tal que contiene al menos un número cuadrado.
Demuestre que la sucesión dada posee infinitos números cuadrados.

Problema 6. Las palabras de un idioma extraterrestre contienen solamente las letras 0 y 1. Cada palabra tiene longitud 15 y cada dos palabras distintas difieren en al menos 3 posiciones.
Demuestre que el idioma tiene a lo más 2048 palabras.

Problema 7. Considere un rectángulo en cuyo interior se halla una curva cerrada que toca en al menos en un punto cada uno de los lados de dicho rectángulo.
Demuestre que el largo de la curva es mayor o igual que dos veces la longitud de la diagonal del rectángulo.

Problema 8. Considere un cubo de lado 1.
(a) Demuestre que existen 9 puntos en¹ dicho cubo tal que para cualquier par de ellos la distancia entre estos es mayor o igual a .

(b) Demuestre que para cualquier conjunto de 9 puntos en dicho cubo existen dos puntos tales que la distancia entre estos es menor o igual que .

¹ Se entiende que los puntos pueden estar tanto en el interior, como en las caras de tal cubo.

Tiempo: 4 horas para cada prueba.

Mensaje modificado por Tobal.alb el Oct 24 2015, 02:54 AM