Prueba de clasificación, nivel menor, 2013 Opciones

[El Geek]

25ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS

Prueba de clasificación, Nivel menor.

Primera prueba

Problema 1.
Dentro de un triángulo equilátero de lado 3 se marcan 5 puntos. Demuestre que hay dos de estos puntos a una distancia menor o igual que

Problema 2.
Sobre cada una de las casillas de un tablero de se escribe 0, ó -1 ó 1. Demuestre que de entre todas las filas y columnas, existen dos de manera tal que las sumas de las casillas correspondientes son iguales.

Problema 3.
Considere un tablero cuadriculado de casillas.¿Cuántas casillas atraviesa una línea diagonal del tablero?

Aclaración: decimos que una línea atraviesa una casilla cuando pasa por el interior de esta.

Tiempo: 2 horas

Segunda prueba

Problema 4.
Sobre una pizarra están escritos los números

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se quiere colocar símbolos + ó - delante de cada número y considerar el resultado de la suma correspondiente.

• ¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea 300?
• ¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea 0?

Problema 5.
Considere un triángulo. Demuestre que existen 4 puntos sobre los lados del triángulo formando un cuadrado.

Problema 6.
En la fiesta de celebración de los 25 años de la Olimpiada Nacional de Matemática participan 100 estudiantes. Cada hombre en la fiesta conoce exáctamente a 2 mujeres de la fiesta y cada mujer exactamente a 2 hombres de la fiesta. Si los participantes solo bailan con personas conocidas, demuestre que es posible que todos los participantes bailen al mismo tiempo.

Tiempo: 2 horas

Mensaje modificado por El Geek el Aug 24 2013, 08:55 PM