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makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 10 2012, 09:55 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Dado un punto $P$ en el interior del $\triangle ABC$ y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de intersección de $AP$ con el lado $BC$, de $BP$ con el lado $CA$ y de $CP$ con $AB$, respectivamente. Pruebe que el área del triángulo debe ser $6$ si el área de cada triángulo $\triangle PFA$, $\triangle PDB$ y $\triangle PEC$ es igual a $1$.<br />$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} En cada casillero de un tablero de $2012 \times 2012$ se coloca un número real $0\le r \le 1$$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Determine todos los pares $(n,p)$ formados por un entero positivo $n$ y un primo $p$ para los cuales: $\dfrac{n^p+1}{p^n+1}$ es un entero.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Dado un $\triangle ABC$ acutángulo. Denote como $D$ al pie de la línea perpendicular trazada desde $A$ a $BC$, $M$ como el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro del $\triangle ABC$. Sea $E$ el punto de intersección del circuncírculo $\Gamma$ del $\triangle ABC$ y la semirrecta $MH$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $ED$ ($E \not =F$). Pruebe que $\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{AB}{AC}$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Dado un entero positivo $n\ge2$. Pruebe que si los números reales $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ satisfacen ${a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2=n$, entonces:$ $TEX: $\displaystyle \sum_{1\le i < j\le n}\frac{1}{n-a_{i}a_{j}}\le\frac{n}{2}$.$ Solucion: (Pendiente) -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...