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Control 2 EDO 2011/1, Salomé Martínez

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Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2011, 09:48 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	Control 2 MA 2601, 2011/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Edgardo Mathies y Sebastián Barbieri P1 a) Sea $TEX: $a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ continua y de período $TEX: $1$$ (1) $TEX: $y'' + a\left( x \right)y = 0$$ Demuestre que $TEX: $y$$ tiene período $TEX: $1$$ sí y solo si $TEX: $y(0)=y(1)$$ y $TEX: $y'(0)=y'(1)$$ b) Suponga que $TEX: $y1,y2$$ son una base de soluciones de (1) tales que $TEX: $y_1(0)=1,y_1'(0)=0, y_2(1)=0,y_2'(1)=1$$ Demuestre que para todo $TEX: $x \in \mathbb{R}$$ se tiene que $TEX: $W(y1,y2)(x)=1$$ c) Demuestre que (1) tiene al menos una solución no trivial de período $TEX: $1$$ , si y solo si $TEX: $y_1(1)+y_2'(1)=2$$ Ind: Para esto considere $TEX: $y=Ay_1+By_2$$ una solución de (1) y use las partes anteriores para deducir cuando $TEX: $y$$ tiene período $TEX: $1$$ y es no trivial. d) Determine todos los valores de $TEX: $\alpha \in \mathbb{R}$$ para los cuales la ecuación: $TEX: $y''+\alpha y=0$$ tiene soluciones no triviales de período $TEX: $1$$ P2 a) Considere la ecuación $TEX: $y''+ay'+by=1+x$$ con $TEX: $a,b$$ constantes, $TEX: $a \ge 0, b \ge 0$$ . Determine la solución general de la ecuación separando los casos $TEX: $a=0,b=0,a^2=4b,a^2>4b,a^2<4b$$ b) Resuelva el problema de valor inicial $TEX: $y''-y=xe^x$$ , con $TEX: $y(0)=1, y'(0)=0$$ . (Ind: puede ser más eficiente usar variación de parámetros) P3) a) Sean $TEX: $\alpha < \beta$$ funciones continuas definidas en un intervalo $TEX: $(a,b)$$ . Sea $TEX: $\phi$$ una solución no trivial de la ecuación $TEX: $y''+\alpha (x)y=0$$ , y $TEX: $\psi$$ una solución no trivial de la ecuación $TEX: $y''+\beta (x)y=0$$ . Demuestre que si $TEX: $\phi(x_1)=\phi(x_2)=0$$ , con $TEX: $x_1<x_2$$ y $TEX: $\phi(x) \ne 0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ , entonces $TEX: $\psi$$ se anula en un punto en $TEX: $(x_1,x_2)$$ Ind: Considere el caso $TEX: $\phi >0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ y suponga $TEX: $\psi >0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ . Demuestre que $TEX: $(\psi \phi '-\phi \psi ')'>0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ e integre $TEX: $x_1$$ y $TEX: $x_2$$ para obtener una contradicción. Explique como obtener el resultado en los otros casos. b) Suponga $TEX: $\beta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ es continua, positiva y acotada por abajo, es decir $TEX: $\beta (x) \ge \varepsilon$$ para todo $TEX: $x$$ , con $TEX: $\varepsilon >0$$ . Demuestre que cualquier solución de la ecuación $TEX: $y''+\beta (x)y=0, x \in \mathbb{R}$$ tiene un número infinito de ceros. Ind: Utilice la parte anterior, utilizando una ecuación adecuada (que tenga soluciones con infinitos ceros).