Examen 2010/02 - Foro fmat.cl

Examen 2010/02, Esop.

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2010, 02:30 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P1}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{a) (2 puntos) Sea }}z = x + iy{\text{ y }}f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right) + iv\left( {x,y} \right){\text{ holomorfa en }}\mathbb{C}{\text{ tal que }}\frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}<br />{{\partial y}} = 0{\text{ para}} \hfill \\<br /> {\text{todo }}\left( {x,y} \right){\text{en }}\mathbb{C}.{\text{ Pruebe que }}f'\left( z \right){\text{ es constante}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 puntos) Demuestre que }}\int\limits_\gamma {\frac{{\cos \left( {{e^{i\pi z}}} \right)}}<br />{{{z^3} - 4{z^2}}}dz} = \frac{{i{\pi ^2}}}<br />{4}\left( {{e^i} - {e^{ - i}}} \right),\;{\text{donde }}\gamma :\left\| {z - 2} \right\| = 3 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 puntos) Demuestre que }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{x\sin \left( x \right)}}<br />{{2 - 2\cos \left( x \right)}}dx} = 2\pi \ln \left( 2 \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Considere }}f\left( z \right) = \frac{z}<br />{{1 - {e^{ - iz}}}}{\text{ y el contorno }}\gamma {\text{ dado por el rectangulo de vertices}} \hfill \\<br /> \left( { - \pi ,\;\pi ,\;\pi + iR,\; - \pi + iR} \right).\;{\text{Asuma que la integral sobre el segmento superior del rectangulo dado de }}f\left( z \right) \hfill \\<br /> {\text{va a }}0{\text{ cuando }}R{\text{ va a infinito}}{\text{. Ademas use que }}\int\limits_0^\infty {\frac{{dy}}<br />{{1 + {e^y}}}} = \ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P2}}} \,}}\! \right\| {\text{ Sea }}S{\text{ el trozo del manto de paraboloide de ecuacion }}z = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2},{\text{ interior al cilidro }}{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3, \hfill \\<br /> {\text{donde la normal al paraboloide en su vertice apunta hacia abajo}}{\text{. Sea }}\vec F{\text{ el campo dado por }} \hfill \\<br /> \vec F\left( {x,y,z} \right) = \left( {y,x,xz} \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Calcular en rotor de }}\vec F{\text{ sobre }}S: \hfill \\<br /> {\text{a) (2 puntos) Directamente}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 puntos) Aplicando el teorema de Stokes}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 puntos) Usando el teorema de la Divergencia Calcular el flujo del campo }}\vec F{\text{ a traves de }}S \cup T, \hfill \\<br /> {\text{donde }}T{\text{ es la superficie del plano }}z = 2y{\text{ encerrada por el cilindro }}{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Para la aplicacion del Teorema considere R la region encerrada por }}S \cup T{\text{ y que el}} \hfill \\<br /> {\text{campo es el rotor de }}\vec F \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P3}}} \,}}\! \right\| {\text{ Considere el problema: }} \hfill \\<br /> \left( {{P_u}} \right)\left\{ {\begin{array}{{20}{c}}<br /> {\frac{{\partial u}}<br />{{\partial t}} - \frac{{{\partial ^2}u}}<br />{{\partial {x^2}}} + 2tu = 0,\;\;x \in \mathbb{R},\;t > 0} \\<br /> {u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right),\;\;\;\;\;\;x \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;} \\<br /><br /> \end{array} } \right. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{a) (1}}{\text{,5 puntos) Aplique la tecnica de la transformada de Fourier a }}\left( {{P_u}} \right).\;{\text{Sea }}\left( {{P_U}} \right){\text{ el problema resultante}} \hfill \\<br /> {\text{(}}U = F\left( u \right){\text{, donde }}F\left( u \right){\text{ es la transformada de Fourier de }}u{\text{)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (1}}{\text{,5 puntos) Resuelva }}\left( {{P_U}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (1}}{\text{,5 puntos) Obtenga la solucion de }}\left( {{P_u}} \right){\text{ a partir de la solucion de }}\left( {{P_U}} \right){\text{ (mediante convolucion)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Recuerde que }}{F^{ - 1}}\left( {{e^{ - t{s^2}}}} \right) = \frac{1}<br />{{\sqrt {2t} }}{e^{ - \frac{{{x^2}}}<br />{{4t}}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{d) (1}}{\text{,5 puntos) Mediante el cambio de variable }}u\left( {x,t} \right) = v\left( {x,t} \right){e^{ - {t^2}}},{\text{ aplicado a }}\left( {{P_u}} \right){\text{ obtenga }}\left( {{P_v}} \right){\text{ y}} \hfill \\<br /> {\text{justifique que }}v,{\text{ la solucion de }}\left( {{P_v}} \right){\text{ cuando }}f \equiv 1,{\text{ es igual a }}v* \equiv 1. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Tiempo: 3 horas}}{\text{.}}} \,}}\! \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Comentario personal: Lejos el examen peor redactado que me ha tocado del Dim, muchos errores de tipeo, gran confusion causada por los auxiliares, etc etc. -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.