Control 2 CVV 2010/1 Otoño

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Control 2 CVV 2010/1 Otoño, Juan Dávila / Manuel del Pino

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Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2010, 10:21 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {P1} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> a){\text{ Sea }}f:{\mathbb{R}^2} \to \mathbb{R}{\text{ de clase }}{C^2}{\text{ y definamos }}g\left( {u,v} \right) = f\left( {x,y} \right) \hfill \\<br /> {\text{donde }}x = u + v,\;y = u{v^2}.{\text{ Suponiendo que}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\frac{{\partial f}}<br />{{\partial y}} = 2,\;\frac{{{\partial ^2}f}}<br />{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}f}}<br />{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}f}}<br />{{\partial {y^2}}} = 1 \hfill \\<br /> {\text{en }}x = 2,\;y = 1,{\text{ calcule}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\frac{{{\partial ^2}g}}<br />{{\partial {u^2}}}\left( {1,1} \right),\;\frac{{{\partial ^2}g}}<br />{{\partial {v^2}}}\left( {1,1} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> b){\text{ Suponga que }}f:{\mathbb{R}^n}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R},\;n \geqslant 2{\text{ es una funcion }}{C^1}{\text{ tal}} \hfill \\<br /> {\text{que para cierta constante }}M \hfill \\<br /> {\text{ }}\left\| {\frac{{\partial f}}<br />{{\partial {x_j}}}\left( x \right)} \right\| \leqslant M\;\;\forall x \ne 0,\;\;\;\forall j \in \left\{ {1, \ldots ,n} \right\} \hfill \\<br /> {\text{ Demuestre que }}f{\text{ es lipschitz en }}{\mathbb{R}^n}\backslash \left\{ 0 \right\}{\text{, es decir}}{\text{, existe }}C{\text{ tal que}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\left\| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right\| \leqslant C\left\\| {x - y} \right\\|\;\;\;\forall x,y \in {\mathbb{R}^n}\backslash \left\{ 0 \right\}. \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {P2} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> a){\text{ Muestre que cerca del punto }}\left( {{x_0},{y_0},{u_0},{v_0}} \right) = \left( {0,1,1,1} \right){\text{ se}} \hfill \\<br /> {\text{puede resolver}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\sin \left( x \right)u + y{v^2}u = 1,\;\;\;{u^2}v + xy{v^4} = 1 \hfill \\<br /> {\text{de manera unica para }}u,\;v{\text{ como funciones }}{C^1}{\text{ de }}x,\;y.{\text{ Calcule }}\frac{{\partial u}}<br />{{\partial x}}\;{\text{y}}\;\frac{{\partial v}}<br />{{\partial x}} \hfill \\<br /> {\text{en }}\left( {0,1} \right). \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> b){\text{ Encuentre la expansion de Taylor de orden 2 de }} \hfill \\<br /> {\text{ }}f\left( {x,y} \right) = x\ln \left( {1 + y} \right) + \sin \left( {x + y} \right) \hfill \\<br /> {\text{en torno de }}\left( {0,0} \right). \hfill \\<br /> {\text{ Pruebe que para }}{x^2} + {y^2} \leqslant \frac{1}<br />{4}{\text{ se tiene}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\left\| {f\left( {x,y} \right) - {P_2}\left( {x,y} \right)} \right\| \leqslant \frac{3}<br />{2}{\left( {\left\| x \right\| + \left\| y \right\|} \right)^3} \hfill \\<br /> {\text{donde }}{P_2}{\text{ es la expansion de orden 2 encontrada anteriormente}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {P3} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> a){\text{ Encuentre los puntos criticos de}} \hfill \\<br /> {\text{ }}f\left( {x,y} \right) = xy{e^{ - {x^2} - {y^2}}} \hfill \\<br /> {\text{y determine si son maximos locales}}{\text{, minimos locales o puntos silla}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> b){\text{ Para }}f{\text{ la funcion de la parte anterior}}{\text{, pruebe que}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{\left\\| {\left( {x,y} \right)} \right\\| \to + \infty } f\left( {x,y} \right) = 0 \hfill \\<br /> {\text{y deduzca que}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\mathop {\max }\limits_{\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}} f\left( {x,y} \right),\;\;\mathop {\min }\limits_{\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}} f\left( {x,y} \right) \hfill \\<br /> {\text{existen}}{\text{. Calcule estos valores}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Tiempo: 3 hrs}}{\text{.}}} \,}}\! \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.