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III IMO (1961), Veszprém, Hungría

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einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2010, 12:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	3ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Veszprém, Hungría, 1961 Primera Prueba: Lunes 6 de julio de 1961 Problema 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$x+y+z$ & = & $a$ \\<br />$x^2+y^2+z^2$ & = & $b^2$ \\<br />$xy$ & = & $z^2$ \\ \hline<br />\end{tabular}<br />$ donde $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ son constantes. De también las condiciones que deben cumplir $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ para que las soluciones del sistema sean números positivos distintos. Problema 2: Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ y $TEX: $c$$ los lados de un triángulo y $TEX: $T$$ su área. Probar que $TEX: $a^2+b^2+c^2\geq4 \sqrt{3}T$$ . ¿En qué casos se cumple ésta igualdad? Problema 3: Resolver la ecuación $TEX: $\cos^n x+ \sin^n x=1$$ , donde $TEX: $n \in \mathbb{N}$$ . Segunda Prueba: Jueves 16 de julio de 1961 Problema 4: Considere un triángulo $TEX: $P_1P_2P_3$$ y un punto $TEX: $P$$ dentro del triángulo. Las rectas $TEX: $P_1P$$ , $TEX: $P_2P$$ y $TEX: $P_3P$$ intercectan al lado opuesto en los puntos $TEX: $Q_1$$ , $TEX: $Q_2$$ y $TEX: $Q_3$$ , respectivamente. Probar que, de los números de: $TEX: $\dfrac{P_1P}{PQ_1}$$ , $TEX: $\dfrac{P_2P}{PQ_2}$$ , $TEX: $\dfrac{P_3P}{PQ_3}$$ al menos uno sea $TEX: $\geq 2$$ y al menos uno sea $TEX: $\leq 2$$ . Problema 5: Construír un triángulo $TEX: $ABC$$ si $TEX: $AC=b$$ $TEX: $AB=c$$ y $TEX: $\measuredangle AMB= \omega$$ , donde $TEX: $M$$ es el punto medio de $TEX: $BC$$ y $TEX: $\omega >90º$$ . Probar que una solución exista si y solo si: $TEX: $b\tan \dfrac{\omega}{2} \leq c <b$$ ¿En qué casos se cumple esta igualdad? Problema 6: Considere un plano $TEX: $\epsilon$$ y tres puntos no colineales $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ en el mismo lado de $TEX: $\epsilon$$ . Suponga que el plano determinado por estos tres puntos no es paralelo a $TEX: $\epsilon$$ . En el plano se toman tres puntos arbitrarios $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C$'$ . Sean $TEX: $L$$ , $TEX: $M$$ y $TEX: $N$$ los puntos medios de los segmentos $TEX: $AA'$$ , $TEX: $BB'$$ y $TEX: $CC'$$ . Sea G el centroide del triángulo $TEX: $LMN$$ (Nótese que no consideramos las posiciones de $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C'$$ en las que éstas no forman un triángulo). ¿Cuál es el lugar geométrico del punto $TEX: $G$$ ya que $TEX: $A'$$ , $TEX: $B'$$ y $TEX: $C$'$ varían independientemente en el plano $TEX: $\epsilon$$ . Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. Mensaje modificado por einstenio16 el Jan 12 2023, 11:14 AM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica