APMO 1989 - Foro fmat.cl

APMO 1989, Ssp: 3,4,5

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2008, 09:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent\underline{$Problema\ 1$} Sean $x_1,x_2,...,x_n>0$ y $S=x_1+x_2+...+x_n$. Pruebe que:<br />\begin{center}<br />$(1+x_1)(1+x_2)\cdot\cdot\cdot (1+x_n) \le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+...+\dfrac{S^n}{n!}$<br />\end{center}$ Soluciones: Sea $TEX: $P(x)$$ el polinomio $TEX: \[<br />\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {x + x_i } \right)} <br />\]$ . Luego sus raíces son todos los $TEX: $-x_i,\ i=1..n$$ , y puede ser escrito de la forma $TEX: $P(x)=a_0+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_n$$ donde $TEX: $a_0=1$$ y, por las relaciones de Cardano-Vieta, cada $TEX: $a_i,\ i=1..n$$ es igual a la suma de los productos de cada $TEX: $i$$ -combinación de $TEX: $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$$ multiplicada por $TEX: $(-1)^k$$ . El lado izquierdo de la desigualdad a probar es igual a $TEX: $P(1)$$ , o sea, igual a $TEX: \[<br />\sum\limits_{k = 0}^n {a_k } <br />\]$ Ahora sólo resta probar que $TEX: \[<br />a_k \le \frac{{S^k }}<br />{{k!}}<br />\]$ , para $TEX: $k=0..n$$ , o, lo que es equivalente, que $TEX: \[<br />k!a_k \le S^k <br />\]$ para los mismos $TEX: $k$$ Para $TEX: $k=0$$ la igualdad es directa, y para $TEX: $k=1..n$$ , recordamos cuatro cosas: 1) que al desarrollar $TEX: $S^k$$ no aparecerán sumandos negativos, pues cada sumando dentro de $TEX: $S$$ no lo es; 2) que al calcular $TEX: $S^k=(x_1+x_2+\dots +x_n)^k$$ , cada $TEX: $k$$ -combinación de los $TEX: $x_i$$ aparece sumada $TEX: $k!$$ veces; * 3) que si $TEX: $k$$ es par, la suma de los productos de las $TEX: $k$$ combinaciones de los $TEX: $-x_i$$ , igual a $TEX: $a_k$$ , es también igual a la correspondiente suma de los $TEX: $x_i$$ ; 4) que si $TEX: $k$$ es impar, la suma de los productos de las $TEX: $k$$ combinaciones de los $TEX: $-x_i$$ , igual a $TEX: $-a_k$$ , es opuesta en signo a la correspondiente suma de los $TEX: $x_i$$ . Combinando los puntos 1, 2 y 3, se demuestra que $TEX: \[<br />k!a_k \le S^k <br />\]$ para $TEX: $k$$ par, y usando los puntos 1, 2 y 4 para $TEX: $k$$ impar. Sumando todas estas desigualdades demostradas, $TEX: \[<br />\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{S^k }}<br />{{k!}} \ge \sum\limits_{k = 0}^n {a_k } = P\left( 1 \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + x_i } \right)} } <br />\]$ que es lo que se quería demostrar. $TEX: $\boxed{Resuelto\ por\ Alucard}$$ $TEX: Por la desigualdad $M.A\geq M.G.$ se tiene que:<br />\begin{center}$(1+x_1)(1+x_2)\cdot\cdot\cdot (1+x_n) \le \left(\dfrac{S+n}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac{S}{n}\right)^n$\end{center}<br />Luego basta demostrar que $\left(1+\dfrac{S}{n}\right)^n \le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+...+\dfrac{S^n}{n!}$ (1.)$ $TEX: El término general del binomio de la derecha es $\dbinom{n}{k}\left ( \dfrac{S}{n} \right )^{k}$ y el término general de la suma de la izquierda es $\dfrac{S^k}{k!}$, donde en ambas expresiones $k=0,1,2,...,n$<br />Y como claramente se tiene:<br />\begin{center}$\dfrac{(n-k+1)(n-k+2)...(n-1)n}{n^k}=\dfrac{n!}{(n-k)!n^k} \le 1$ \end{center}<br />Multiplicando por $\dfrac{S^k}{k!}$ se obtiene:<br />\begin{center}$\dbinom{n}{k}\left ( \dfrac{S}{n} \right )^{k} \le \dfrac{S^k}{k!}$ \end{center}<br />Que prueba la desigualdad (1.)$ $TEX: $\boxed{Resuelto\ por\ Javier\ Gomez\ L.}$$ $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 2$} Pruebe que la ecuaci\'on:<br />\begin{center}<br />$6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2$<br />\end{center}<br />no tiene soluciones enteras con excepci\'on de $a=b=c=n=0$$ Solucion: $TEX: Veamos que $2\|5n^2$, y como $gcd(2,5)=1$, se tiene que $2\|n^2$, y como $2$ es primo, entonces $2\|n$. De forma análoga se obtene que $3\|n$, y por ende $6\|n$. Sea $n_1$ el entero tal que $n=6n_1$. Entonces la ecuación original equivale a: $$6a^2+3b^2+c^2=30n_1^2$$<br /><br />Por esta ecuación se tiene que $3\|c$. Coloquemos $c=3c_1$, con $c_1$ entero y la nueva ecuación es: $$2a^2+b^2+3c_1^2=10n_1^2$$<br /><br />Supongamos que la ecuación admita al menos una soluciòn $(a',b',c_1',n_1')$ en enteros no negativos. Escribamos $d=gcd(a',b',c_1',n_1')$, $a'=dx, b'=dy, c_1'=dz, n_1'=dw$, con $x,y,z,w$ enteros no negativos, con al menos uno de ellos no nulo, tales que $gcd(x,y,z,w)=1$. Tenemos que: $$2x^2+y^2+3z^2=10w^2$$ <br /><br />Analizando módulo $16$, tenemos que $2x^2\equiv \{0,2,8\}; y^2\equiv \{0,1,4,9\}; 3z^2\equiv \{0,3,11,12\}, w^2\equiv \{0,8,10\}$. Manualmente se ve que las únicas posibles sumas de residuos que calzan son $0+0+0=0$, $0+4+12=0$, $0+0+8=8$, $4+8+12=8$ (todas las sumas son consideradas módulo $16$). Pero a mano podemos corroborar que $Kt^2\equiv \{0,4,8,12\}$ (con $K\in \{1,2,3\}$) si y solamente si $t$ es par. Se deduce que $x,y,z,w$ son todos pares, lo cual contradice que $gcd(x,y,w,z)=1$. Por lo tanto la única solución en enteros de la ecuación es (0,0,0,0) $\blacksquare$$ $TEX: $\boxed{Resuelto\ por\ Fatal\ Collapse}$$ $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 3$} Sean $A_1,A_2,A_3$ tres puntos en el plano, y por conveniencia tomemos $A_4=A_1$ y $A_5=A_2$. Para $n=1,2$ y $3$; suponga que $B_n$ es el punto medio de $A_nA_{n+1}$; y suponga que $C_n$ es el punto medio de $A_nB_n$. Suponga que $A_nC_{n+1}$ y $B_nA_{n+2}$ se encuentran en $D_n$; y que $A_nB_{n+1}$ y $C_nA_{n+2}$ se encuentran en $E_n$. Calcule la raz\'on entre el \'area del tri\'angulo $D_1D_2D_3$ y el \'area del tri\'angulo $E_1E_2E_3$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 4$} Sea $S$ un conjunto de $m$ pares $(a,b)$ de enteros positivos con la propiedad de que $1\le a<b\le n$. Pruebe que hay al menos <br />\begin{center}<br />$4m\cdot \dfrac{(m-\frac{n^2}{4})}{3n}$<br />\end{center}<br />trios $(a,b,c)$ tales que $(a,b)$, $(b,c)$ y $(a,c)$ pertenecen a $S$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent\underline{$Problema\ 5$} Determine todas las funciones $f$ de los reales a los reales para las cuales:\\<br />\\<br />(1) $f(x)$ es estrictamente creciente.\\<br />(2) $f(x)+g(x)=2x$ para todos los reales $x$.\\<br />\\<br />donde $g(x)$ es la funci\'on inversa de $f(x)$.$ Solucion: (Pendiente) Mensaje modificado por Luffy el Jun 2 2013, 10:20 PM