Certamen 2 - Foro fmat.cl

Certamen 2, Segundo Semestre 2007

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 25 2007, 10:54 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />\begin{center} SEGUNDO CERTAMEN MAT-022, 23 Octubre 2007 \end{center}<br />\begin{center} (tiempo: 120 minutos) \end{center} <br /><br />P1.- <br /><br />(i) Sean $\vec x = (2,2,1),\ \vec y =(-2,1,2), \ \vec z = (1,-2,2)$ tres vectores en $R^3$, ¿Forman $\vec x, \vec y , \vec z$ un conjunto de vectores ortogonales? \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(ii) Demuestre que no existen puntos $P(x,y,z)$ que satisfagan la ecuacion del plano \\<br />$\pi : 2x - 3y + z - 2 = 0$ y que esten sobre la recta \\<br />$L: (x,y,z) = (2, -2, -1) + t(1, 1, 1).$ \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(iii) Determine el valor de $b \in R^{+}$ de modo que los vectores <br /><br />$\vec v = \vec i - \vec j + 2\vec k , \ \vec w = 3\vec i + \vec j$ y $\vec u = b^2\vec i + 2\vec k$ esten sobre un mismo plano, es decir que sean coplanares. \ \ \ \ \ \ (10 puntos) <br /><br />(iv) Hallar la ecuacion parametrica de la recta $L$ que pasa por los puntos $P(2, 0, -2)$, sea perpendicular a la recta $\displaystyle L^{'} : \frac {x-2}{4} = \frac {y-1}{3} = \frac {z-1}{2}$ y sea paralela al plano $\pi: x + y - z = 0$ \ \ \ \ (10 puntos) \\<br /><br />P2.- <br /><br />(i) Determine las antiderivadas de las siguientes funciones: \\<br />i.- $y = b^{x} , \ b > 1$ \\<br />ii.- $y = log_b x , \ b > 1 $ \ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br />(ii) Si $\displaystyle f(x) = \frac {x^{b}}{b^{x}}, \ b> 1, \ x \in [0, + \infty[$ demuestre que \\<br />$\displaystyle f^{'} \ ( \frac {b}{ln b} \ ) = 0$ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br />(iii) Dibuje la grafica de $g{'} (x)$ si \\<br />$\displaystyle g(x) = x log_b x - \frac {x}{ln b}, \ \ 0 < b< 1, \ \ x \in \ ]0, + \infty[.$ \ \ \ \ (10 puntos) \\<br /><br />P3.- La region limitada por las graficas de \\<br />$y= \sqrt{x}$ y $y= \frac{1}{2} x$, por debajo de la recta $y=1$, se gira alrededor del eje y. Obtenga el volumen del solido de revolucion engendrado por esta rotacion. (20 puntos) \\<br /><br />P4.- Utilize la sustitucion $u = x- \pi$ y las propiedades de simetria para demostrar que \\<br />$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac {x \|sin x\|}{1 + cos^2 x} dx = \pi^2.$ \ \ \ \ (10 puntos)<br /><br /><br />$ Mensaje modificado por FelipeK el Jan 11 2008, 01:24 AM --------------------

Respuestas

Niyck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 04:49 PM Publicado: #2
Coordinador Team PreuVirtual Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.447 Registrado: 2-February 06 Desde: Valparaiso Miembro Nº: 531 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El 4 $TEX: \noindent Sea $u=x-\pi$ \\<br />$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u+\pi)\|}{1+cos^2(u+\pi)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|-Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du + \pi \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />La primera integral es 0, ya que la funcion es impar. \\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{Sen(u)}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />Sea $z=cos(u) \Rightarrow dz=-sen(u)du$ \\ \\<br />$=\displaystyle -2\pi \int_{1}^{-1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 4\pi \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\ 4\pi ( arctg(1) - arctg(0) ) = \pi ^2 $ \\<br />$ Al final me andube saltando algunos pasos, es facil notar que la funcion es par y por eso la calculo de 0 a 1 (tambien di vuelta los limites por ahi) -------------------- Obten $50+100 dolares para aprender a jugar poker, sin hacer NINGUN deposito, cualquier duda por MP.

FelipeK Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 06:46 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 22-August 07 Desde: Valparaiso-Castro Miembro Nº: 9.196 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Niyck @ Oct 28 2007, 05:49 PM) El 4 $TEX: \noindent Sea $u=x-\pi$ \\<br />$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u+\pi)\|}{1+cos^2(u+\pi)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|-Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u)\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du + \pi \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />La primera integral es 0, ya que la funcion es impar. \\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{\|Sen(u)\|}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\pi} \dfrac{Sen(u)}{1+cos^2(u)}du $ \\<br />\\<br />Sea $z=cos(u) \Rightarrow dz=-sen(u)du$ \\ \\<br />$=\displaystyle -2\pi \int_{1}^{-1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\displaystyle 4\pi \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+z^2}dz $ \\<br />\\<br />$=\ 4\pi ( arctg(1) - arctg(0) ) = \pi ^2 $ \\<br />$ Al final me andube saltando algunos pasos, es facil notar que la funcion es par y por eso la calculo de 0 a 1 (tambien di vuelta los limites por ahi) Que rabia ver la resolución del problema xD En el certamen andaba 0 inspiración... fui presa del tiempo --------------------

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trunkz no me había percatado de eso :death: gracias por... Oct 28 2007, 10:23 PM

rat0ncit0 Wenisimo aporte ... Gracias :goodpost: (y) Apr 8 2008, 11:20 PM

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