Examen Calculo II, s1-2012

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Examen Calculo II, s1-2012

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kfunk Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2012, 06:10 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 4-April 10 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 67.758 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	MAT1620 - EXAMEN 29 de Junio de 2012 $TEX: \begin{enumerate}<br />\item Considere la curva $C$ dada por las ecuaciones paramétricas $$x=3t, \quad \quad y = 3t-t^2, \quad \quad t \in [0,1]$$<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $R$ la región comprendida entre $C$ y el eje OX. Hallar el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región $R$ en torno al eje OY.<br />\item Hallar el área de la superficie de revolución engendrada por rotación de $C$ en torno al eje OX.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Indique para que valores de $x \in \mathbb R$ la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^3x^{4n}}{(3n)!}$$ es convergente o divergente.<br />\item Sea la integral $$I := \int_0^1 e^{-x^2} \ dx.$$ Determine una aproximación $I_0$ del valor $I$ tal que $$\|I-I_0\| \leq 10^{-1}.$$<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Estudie la convergencia de $$\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+x^2}}.$$<br />\item Hallar la curvatura en cada punto que ella exista, de la curva en el plano cuya ecuación polar es $r(\theta) = 1 + cos(\theta)$ con $\theta \in [0,2 \pi)$. Si hay puntos en los que la curvatura no exista, indíquelos.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate} \item Encuentre todos los valores de $a,b,c \in \mathbb R$ tales que la curva $\Gamma_{a,b,c} = \left\{ r(t) : t \in \mathbb R \right\}$ parametrizada por $$r(t) = (a+t+t^2,t^2+bt^3,t+ct^3)$$ sea una curva plana.<br />\item Para $\Gamma_{a,b,c}$ de la parte a), encuentre la ecuación normal del plano que la contiene.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}$ Igual fue un examen bastante completo, entró de verdad, casi toda la materia del curso. Saludos. Mensaje modificado por kfunk el Jun 29 2012, 06:11 PM

Respuestas

manzanin	Nov 6 2012, 09:09 PM Publicado: #2
Invitado	Estaba cachando que arriba falta evaluar en 1 y ver qué pasa para poder concluir. Vamos con la P2.b) Consideremos la serie de taylor de la exponencial: $TEX: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{x^{n}}{n!}}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}...$$$ Entonces: $TEX: $$\int\limits_{0}^{1}{e^{-x^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x^{2}+\frac{(-x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-x^{2})^{3}}{3!}+... \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2!}-\frac{x^{6}}{3!}+... \right)dx}$$$ Resolvemos: $TEX: $$\int\limits_{0}^{1}{e^{-x^{2}}dx}=\left[ x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+... \right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+...$$$ Esta última serie cumple el criterio de leibniz y el error de la suma (resto) estará dado por el primer término que no se cuenta. Buscamos entonces cual de los términos es menor (o igual) que 0.1. Es claro que el término que cumple esto es 1/10. Así, el valor de $TEX: $$I_{0}$$$ será $TEX: <br />$$I_{0}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$$ Espero que esté bien.

Mensajes en este tema

kfunk Examen Calculo II, s1-2012 Jun 29 2012, 06:10 PM

manzanin Vamos a ver si sale la P2.a) -No me acuerdo mucho... Nov 4 2012, 11:10 PM

manzanin Estaba cachando que arriba falta evaluar en 1 y ve... Nov 6 2012, 09:09 PM

josemetal La pregunta 3 a) Veamos que : $$... Nov 6 2012, 10:01 PM

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