Control 2 2010/02 Ortega/Cominnetti

Control 2 2010/02 Ortega/Cominnetti, Variable Compleja

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2010, 09:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P1}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{a) (2 ptos) Resuelva la ecuacion: }}{e^z} = \cos \left( {iz} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 ptos) Determine el conjunto A de todos los }}z \in \mathbb{C}{\text{ donde}} \hfill \\<br /> f\left( z \right) = z - i{\left\| z \right\|^2} + \Re e\left( z \right){\left( {\Im m\left( z \right)} \right)^2} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 ptos) Determinar las funciones de variable real }}s\left( y \right),\;t\left( y \right),{\text{ diferenciables}} \hfill \\<br /> \left( {{\text{en }}\mathbb{R}} \right){\text{ tales que }}s\left( 0 \right) = 1,\;t\left( 0 \right) = 0{\text{ de modo que la funcion compleja}} \hfill \\<br /> f\left( {x + iy} \right) = {e^x}\left( {s\left( y \right) + it\left( y \right)} \right) \hfill \\<br /> {\text{sea holomorfa}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Recordar que }}u''\left( r \right) + {a^2}u\left( r \right) = 0{\text{ tiene como solucion general}} \hfill \\<br /> u\left( r \right) = \alpha \sin \left( {ar} \right) + \beta \cos \left( {ar} \right). \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P2}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{a) (4 ptos) Sea }}p\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {{c_k}{{\left( {z - {z_0}} \right)}^k}} {\text{ un polinomio de grado }}n{\text{ para }}{z_0} \in \mathbb{C}. \hfill \\<br /> {\text{Demuestre que se cumple}} \hfill \\<br /> \oint\limits_\gamma {p\left( z \right)d\bar z} = - 2\pi ip'\left( {{z_0}} \right){a^2} = - {a^2}\oint\limits_\gamma {\frac{{p'\left( z \right)}}<br />{{z - {z_0}}}dz} \hfill \\<br /> {\text{donde }}\gamma :\left\| {z - {z_0}} \right\| = a,{\text{ con }}a > 0. \hfill \\<br /> {\text{Nota: }}\oint\limits_\gamma {p\left( z \right)d\bar z} = \int\limits_c^d {f\left( {g\left( t \right)} \right)\overline {g'\left( t \right)} dt} ,{\text{ donde }}g:\left[ {c,d} \right] \to \mathbb{C}{\text{ es una parametrizacion de }}\gamma {\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Recuerde que }}{c_k} = \frac{{{p^{\left( k \right)}}\left( {{z_0}} \right)}}<br />{{k!}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 ptos) Calcule la integral}} \hfill \\<br /> \oint\limits_\gamma {\frac{{{z^2} + 1 - {e^z}}}<br />{{{z^2}{{\left( {z - 2} \right)}^2}}}dz} , \hfill \\<br /> {\text{donde }}\gamma {\text{ es la circunferencia }}\left\| z \right\| = a{\text{. Separe los casos }}0 < a < 2{\text{ y }}a > 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{P3}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{a) (2 ptos) Determine los polos (con sus ordenes) y los correspondientes}} \hfill \\<br /> {\text{residuos de la funcion:}} \hfill \\<br /> f\left( z \right) = \frac{{1 - \cos \left( z \right)}}<br />{{{z^2}\sin \left( z \right)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) (2 ptos) Encuentre la serie de Taylor de la funcion}} \hfill \\<br /> f\left( z \right) = \frac{{z + 1}}<br />{{z\left( {z + 5} \right)}} \hfill \\<br /> {\text{en torno al punto }}{z_0} = i{\text{ y determine el radio de convergencia}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Puede ser util usar una descomposicion en fracciones parciales}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) (2 ptos) Sea }}g{\text{ holomorfa en }}0{\text{ con }}g\left( 0 \right) \ne 0{\text{ y }}f\left( z \right) = \frac{{g\left( z \right)}}<br />{{{z^k}}},{\text{ con }}k \in \mathbb{N}\backslash \left\{ 0 \right\}. \hfill \\<br /> {\text{Pruebe que }}p = 0{\text{ es un polo de }}\frac{{f'\left( z \right)}}<br />{{f\left( z \right)}}.{\text{ Determine su orden y calcule su residuo}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Tiempo: 3 Horas}}} \,}}\! \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Comentario personal: Costó pero salió -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

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Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 30 2010, 07:37 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2 a) $TEX: \begin{eqnarray}<br />I & = & \displaystyle\oint_{\gamma} p(z) d\overline{z} \\<br /> & = & \int_0^{2\pi}p(z_o + ae^{it}) \overline{ai e^{it}}dt \\<br /> & = & -ai \int_0^{2\pi} \sum_{k = 0}^N c_k (a e^{it})^k e^{-it} dt \\<br /> & = & -ai \sum_{k = 0}^N c_k a^k \int_0^{2\pi} e^{i(k-1)t} dt<br />\end{eqnarray}$ Notamos que si $TEX: $k \neq 1$$ , $TEX: $\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{i(k-1)t}dt = \frac{1}{i(k-1)}(e^{i(k-1)t}) \Big \|_0^{2\pi} = 0$$ por lo que $TEX: $\displaystyle I = -ai a^1 c_1 \int_0^{2\pi} e^{i(1-1)t} dt = -a^2i c_1 \int_0^{2\pi} dt = -2\pi i c_1 a^2$$ Además, como $TEX: $c_k = \displaystyle\frac{p^{(k)}(z_0)}{k!} \Rightarrow c_1 = \frac{p^{(1)}(z_0)}{1!} = p'(z_0)$$ con lo que se tiene la primera igualdad. La segunda igualdad es directa de la fórmula de Cauchy. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Mensajes en este tema

Crash! Control 2 2010/02 Ortega/Cominnetti Oct 28 2010, 09:56 PM

Krebante P2 a) \begin{eqnarray*} I & = & ... Oct 30 2010, 07:37 AM

Crash! P2 a) \begin{eqnarray*} I & = & ... Oct 30 2010, 09:54 AM

Kaissa y para k=1? no seas fome po xd si ese es el caso ... Oct 30 2010, 10:26 AM

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