XXXIII IMO (1992), Moscú, Rusia Opciones

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33ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA
Moscú, Rusia, 1992

Primera Prueba: 15 de julio de 1992

Problema 1: Encuentre todas las ternas de enteros, con tales que es un múltiplo de

Problema 2: Encuentre todas las funciones tales que:

para todo en

Problema 3: Dados 9 puntos en el espacio, tales que no existan cuatro de ellos coplanares, encuentre el menor natural tales que para cualquier coloracion con azul y blanco de aristas dibujadas entre esos 9 puntos, exista siempre un triángulo monocromático.

Segunda Prueba: 16 de julio de 1992

Problema 4: En el plano, sea una circunferencia fija, una recta tangente a y un punto sobre . Encuentre el lugar geométrico de los puntos para los cuales existen dos puntos sobre tales que es el punto medio de y es el incírculo del

Problema 5: Sea un subconjunto finito del espacio euclídeo de los puntos con coordenadas enteras. Llamemos a las proyecciones de sobre los planos , respectivamente. Si denota la cardinalidad del conjunto , pruebe que:

Problema 6: Para cada entero positivo , denotemos por al mayor entero tal que para todo entero positivo , puede ser escrito como la suma de cuadrados perfectos.

a) Pruebe que para todo , se cumple que
b) Encuentre un natural tal que
c) Demuestre que la ecuacion admite infinitas soluciones en los enteros positivos

Resumen de soluciones

Problema 1: Pendiente de solución.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Pendiente de solución.
Problema 5: Pendiente de solución.
Problema 6: Pendiente de solución.

Cualquier error de traduccion, o detalle que no se entienda, favor enviar MP. Recordar que los enunciados no son textuales. Saludos.

[Diego Navarro]

SP3:
Vease desde el segundo parrafo en adelante de la respuesta del P4 de está IMO, usaremos eso como lema (gracias al usuario)
ACA

Lo resolveremos, por así decirllo, de adelante hacia atrás, sean los vértices del grafo, hay un total de 36 aristas, , consideremos pintadas todas las aristas, entonces tenemos un grafo completo con todas sus aristas pintadas, notemos que si descoloreamos una de las aristas, sin pérdida de generalidad la que une , si siguiesemos despintando mas aristas que unen a no estaríamos minimizando el valor de n ya que aun existe un un subgrafo completo (el cual tiene un subgrafo y por ende ,por el lema, un triángulo monocromático), entonces descoloriemos una de las aristas del grafo el cual seguirá teniendo un subgrafo luego repetimos este procedimiento hasta que ya hayamos descoloreado 3 aristas y tengamos un subgrafo y por tanto 33 aristas, aca dejo un dibujo qe muestra un grafo de 9 vértices y 32 aristas el cual no tiene ningun grafo monocromático, y por tanto el mínimo valor de n es 33.(Por comodidad cambien los colores por negro y rojo, las arisatas no pintadas son las AI, HG, BC y DC)

al principio encontraba super flaite poner como "...y aca hay un dibujo donde no se cumple" pero luego pense que eso habia qe hacer ya qe si no, no habrian puesto solo 9 vértices y no mil por ejemplo...