Semana del 18 al 24 de Agosto Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Esta semana vamos a conocer la Prueba de Clasificación de la Olimpiada Nacional. Aún así no es la idea perder la costumbre de la lista semanal de problemas. Comienzo con uno simpático, pero algo laborioso...

Problema 1: Tenemos un equilátero. En el día 0, a las 8:00 AM, hay una masa 1, concentrada en el punto (los puntos no tienen masa, o sea la masa en ellos vale 0 a las 8:00 AM del día 0). Para cada , ocurren las siguientes cosas:

• A las 10:00 AM la masa total de cada vértice es dividida en 2 partes iguales.
• A mediodía es enviada una de estas partes a cada vecino (por ejemplo, si miramos desde el vértice , uno de los grupos parte desde hacia , y el otro desde hasta )
• Los seis envíos realizados llegan a sus destinos a las 2:00 PM

Para cada , determine la distribución de masa (en cada vértice) en el día , a las 8:00 AM. Como sugerencia, encuentre la distribución de los primeros días, cosa de ver si está entendiendo el problema. Toda la información relevante está a las 8:00 AM. Luego intente deducir una fórmula general. Puede ser de mucha ayuda asignar las siguientes incógnitas:

El día , a las 8:00 AM, tenemos una masa en el vértice , una masa en el vértice , y una masa en el vértice .

[MasterIN®]

Problema 5: Encuentre todos los pares (a,b) de enteros positivos, tales que un tablero cuadriculado de a×b casillas puede ser cubierto por figuras T. Debe ser cubierto totalmente, sin superposiciones y sin salir las figuras T del tablero. Una figura T ocupa cuatro casillas, conectadas entre sí formando una letra T.

Antes que nada, tenemos que estar claros que como el 4 es par, entonces a*b debe ser par. a*b=2k.

Pintemos el tablero de axb como tablero de ajedrez (que original ). Entonces, tenemos dos tipos de figuras, digamos T1 y T2.



Supongamos que para llenar el tablero ocupamos x piezas T1 e y piezas T2. Entonces:
3x+y = ab/2 ==> casilleros negros
3y+x= ab/2 ==> casilleros blancos.

Además, si sumamos ambos, tenemos que
4x+4y=ab
4(x+y)=ab
x+y = ab/4, pero como x=y, entonces, podemos decir que x=ab/8

Luego, como ab=2k, tenemos que x= 2k/8 ==> x=k/4.

Por lo tanto, concluimos que a=4t y b=4r.

Y eso ps.... sería todo...fin....se acabó...

Otra manera, que deja un poco más de dudas, pero igual sería util, es formar el tablero de 4x4 y luego, podemos ir pegandolos, entonces, tenemos que se podria para todos los a=4t y b=ur

Ia no+....au revoir

QUEPD

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