1ª Killer Maraton - Foro fmat.cl

1ª Killer Maraton, Solo para valientes

Cesarator	Aug 12 2006, 09:47 PM Publicado: #1
Invitado	Damos inicio entonces a nuestra primera GRAN KILLER MARATON. Para tener derecho a postear aqui, primero hay que inscribirse y leer las reglas: Reglamento e inscripciones Esta es una competicion oficial FMAT, y se premiara a los ganadores. Y como sospecho que esto nos dara un largo tiempo de diversion, comencemos de inmediato. Recuerdo que la dificultad sera variada: problemas dificiles, tambien algunos relativamente simples. No se hara ningun comentario sobre la dificultad de cada problema hasta despues de resuelto. GO! $TEX: <br />{\bf Problema 1}. Sean $x,y,z>0$ tales que $\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} =1$. Demostrar la desigualdad<br />\[<br />\frac{xy}{xy-1} + \frac{yz}{yz-1} + \frac{zx}{zx-1} \le \frac{9}{2}.<br />\]<br />$

Respuestas

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2006, 06:25 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 19$ $TEX: \noindent Sean $\alpha, \beta, \gamma$ los respectivos angulos del triangulo $ABC$ , y $\alpha', \beta', \gamma'$ los de $A'B'C'$, donde por enunciado se sabe que $\gamma=\gamma'$ .$ $TEX: Ahora, dado que $\displaystyle\frac{R}{r}=\displaystyle\frac{R'}{r'}$ se tiene que:$ $TEX: $1+\displaystyle\frac{r}{R}=1+\displaystyle\frac{r'}{R'}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)=cos(\alpha')+cos(\beta')+cos(\gamma')$$ $TEX: $\Rightarrow$ $cos(\alpha)+cos(\beta)=cos(\alpha')+cos(\beta')$$ $TEX: $\Rightarrow$ $cos\left(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot cos\left(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=cos\left(\displaystyle\frac{\alpha'+\beta'}{2}\right)\cdot cos\left(\displaystyle\frac{\alpha'-\beta'}{2}\right)$$ $TEX: Pero como $\gamma=\gamma'$ $\Rightarrow$ $\alpha+\beta=\alpha'+\beta' < \pi$, luego:$ $TEX: $cos\left(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=cos\left(\displaystyle\frac{\alpha'-\beta'}{2}\right)$$ $TEX: y como $\alpha-\beta , \alpha'-\beta' \in (0,\pi)$ nos queda que:$ $TEX: $\alpha-\beta=\alpha'-\beta'$ $\Rightarrow$ $2\alpha-(\alpha+\beta)=2\alpha'-(\alpha'+\beta')$ $\Rightarrow$ $\alpha=\alpha'$ $\Rightarrow$ $\beta=\beta'$$ $TEX: concluyendo asi que los triangulos en cuestion son semejantes.$ --------------------

Mensajes en este tema

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Pasten http://img209.imageshack... Aug 20 2006, 03:22 AM

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zirou Recordemos que la paridad solo da cupo a dos opcio... Aug 20 2006, 04:26 PM

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Cesarator {\bf Problema 21} Sean $A,B,C,D,E... Oct 24 2006, 06:31 PM

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Cesarator chuuu, sorry, nuevo error de tipeo, confundi el ul... Oct 24 2006, 09:01 PM

Pasten http://img57.imageshack.us... Oct 24 2006, 09:47 PM

Cesarator Justificar + esta parte Oct 24 2006, 10:21 PM

Pasten Ok, ya esta Oct 24 2006, 11:40 PM

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