II OMCS (1991) - Foro fmat.cl

II OMCS (1991), Argentina

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2006, 07:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	2º OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Argentina, 1991 Primera Prueba Problema 1: Sean $TEX: $A, B, C$$ tres puntos no colineales, y $TEX: $E\neq{B}$$ un punto cualquiera, con $TEX: $E\notin\overleftrightarrow{AC}$$ . Construya los paralelógramos $TEX: $ABCD$$ y $TEX: $AECF$$ (ambos en ese orden). Pruebe que $TEX: $\overleftrightarrow{BE}//\overleftrightarrow{DF}$$ Problema 2: Dos personas: $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , practican el siguiente juego: $TEX: $A$$ comienza eligiendo un natural y luego, cada jugador en su turno, dice un número de acuerdo al reglamento: • Si el último número mencionado fue impar, el jugador suma 7 a ese número • Si el último número mencionado fue par, el jugador lo divide por 2. Gana el jugador que repite el número elegido inicialmente. Encuentre, justificadamente, todos los números que $TEX: $A$$ puede elegir para ganar. Problema 3: Se sabe que el número de soluciones $TEX: $(x, y)\in\mathbb{R}^2$$ del siguiente sistema de ecuaciones es finito. Pruebe que dicho número de soluciones es par. $TEX: $(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)$$ $TEX: $(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1)$$ Segunda Prueba Problema 4: En cada casilla de un tablero de $TEX: $3\times{3}$$ hay un botón, que puede estar de color rojo o verde. Si se oprime un botón en el borde del tablero, él y todos sus vecinos cambian de color. Si se oprime el botón central, cambian de color sus ocho vecinos, pero él mantiene su color. Al principio todos los botones están rojos. ¿Es posible, oprimiendo sucesivamente algunos botones, lograr que todas las luces queden verdes? Problema 5: La figura muestra un cuadrado de lado $TEX: $1$$ , que en su interior contiene un cuadrado de lado $TEX: $x < 1$$ y una circunferencia de radio $TEX: $r$$ , que es tangente a dos lados del cuadrado mayor y pasa por un vértice del cuadrado menor. Determine $TEX: $r$$ en función de $TEX: $x$$ . Problema 6: Dado $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+$$ , sea $TEX: $f(n)$$ el promedio de sus divisores positivos. $TEX: $(a)$$ Pruebe que $TEX: $\sqrt{n}\le{f(n)}\le\dfrac{n+1}{2}$$ $TEX: $(b)$$ Encuentre todos los $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+$$ tales que $TEX: $f(n)=\dfrac{91}{9}$$ Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Aquí, resuelto por Jaime sscc. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Aquí, resuelto por Killua. Observación: la mayoría de estos ejercicios están ya resueltos en el foro, pero este topic va con la intención de ordenar... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Respuestas

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2006, 02:55 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución del problema 3 está impecable, sólo queda felicitar a Jaime sscc por conseguir una muy buena redacción de la solución del problema. En cuanto a la solución del problema 6, prefiero hacer algunos comentarios adicionales... Por lo menos desde mi punto de vista, yo sé que la parte 1 tiene una solución bastante más corta de lo que tú hiciste. Entonces, al ver una solución tan larga, creo que es mejor resumirla antes de empezar a revisarla. Te sugiero que busques una solución más corta para esa parte Una ayuda sería encontrar una fórmula para el producto de todos los divisores de un número $TEX: $n$$ , en términos de $TEX: $n$$ y de la cantidad de divisores de $TEX: $n$$ . Sugiero que eso lo hagas aparte, antes de comenzar la demostración. O, simplemente, lo asumes como conocido. Sobre la segunda parte, tengo sospechas mucho mayores, porque de $TEX: $\sqrt n\le\dfrac{91}9$$ concluiste inmediatamente que $TEX: $\sqrt n\le10$$ . Y después de eso, me ha quedado la impresión que asumiste que $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto. Por lo menos, ese es el trato que diste a $TEX: $n$$ , y nunca diste un buen argumento para excluir a aquellos valores de $TEX: $n$$ que no son cuadrados perfectos. Así que la idea aquí es revisar tus propios argumentos. Mensaje modificado por Francisco Muñoz el Sep 15 2006, 12:34 AM -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2006, 11:25 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Sep 14 2006, 03:55 PM) La solución del problema 3 está impecable, sólo queda felicitar a Jaime sscc por conseguir una muy buena redacción de la solución del problema. En cuanto a la solución del problema 6, prefiero hacer algunos comentarios adicionales... Por lo menos desde mi punto de vista, yo sé que la parte 1 tiene una solución bastante más corta de lo que tú hiciste. Entonces, al ver una solución tan larga, creo que es mejor resumirla antes de empezar a revisarla. Te sugiero que busques una solución más corta para esa parte Una ayuda sería encontrar una fórmula para el producto de todos los divisores de un número $TEX: $n$$ , en términos de $TEX: $n$$ y de la cantidad de divisores de $TEX: $n$$ . Sugiero que eso lo hagas aparte, antes de comenzar la demostración. O, simplemente, lo asumes como conocido. Sobre la segunda parte, tengo sospechas mucho mayores, porque de $TEX: $\sqrt n\le\dfrac{91}9$$ concluiste inmediatamente que $TEX: $\sqrt n\le10$$ . Y después de eso, me ha quedado la impresión que asumiste que $TEX: $n$$ es cuadrado perfecto. Por lo menos, ese es el trato que diste a $TEX: $n$$ , y nunca diste un buen argumento para excluir a aquellos valores de $TEX: $n$$ que no son cuadrados perfectos. Así que la idea aquí es revisar tus propios argumentos. Me comprometo a mañana terminar la parte 2. En la parte 1 tendría que buscar una solución más corta, pero igual la que está ahí es correcta (pregúntenle a Francisco? ) Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Mensajes en este tema

Guía Rojo II OMCS (1991) Apr 19 2006, 07:07 PM

Killua Por fin me salió Francisco :victory: $... Sep 6 2006, 11:44 PM

Jaime sscc Problema 3: \noindent$\displaystyl... Sep 7 2006, 09:16 PM

xsebastian La solución del problema 3 está impecable, sólo qu... Sep 14 2006, 02:55 PM

Killua Me comprometo a mañana terminar la parte 2. En l... Sep 14 2006, 11:25 PM

Francisco Muñoz Mucho tiempo despues de haberla posteado, cumplo ... Sep 15 2006, 01:08 AM

Killua Parte 2 del P6 ahora editada, espero que esté bien... Sep 15 2006, 11:14 PM

p.j.t [b]Problema 5: La figura muestra un cuadrado de la... Jan 22 2008, 05:47 PM

makmat Con respecto al P6, si el numero de divisores del ... Sep 13 2008, 11:37 PM

Felipe_ambuli Con respecto al P6, si el numero de divisores del ... Sep 14 2008, 01:29 PM

makmat Para eso es util definir [tex=./tex/c35ef4c5dea306... Sep 17 2008, 12:18 AM

Hamon [b]Problema 4: En cada casilla de un tablero de [t... Jun 1 2010, 08:19 PM

makmat Vemos que inicialmente hay 9 botones rojos, que es... Jun 1 2010, 08:45 PM

Hamon ajja suena bonito lo del "training Cono Sur... Jun 3 2010, 06:33 PM

Niklaash Solucion P1: (*) [spoiler] (segun la figura) [t... Nov 17 2013, 05:11 PM

Kaissa Buena solución, Niklaash. Tengo una solución habl... Nov 18 2013, 12:15 AM

Niklaash Buena solución, Niklaash. Tengo una solución habl... Nov 18 2013, 01:31 PM

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